Exercício de Cremasco, M.A. Operações unitárias em sistemas particulados e fluidomecânicos, São Paulo: Blucher, 2012. Considere um sistema para bombeamento de benzeno a 37,8^{\circ} \mathrm{C}\left(\rho=865 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}\right.; pvap \left.=26,2 \mathrm{kPa}\right) através de uma tubulação de aço de 100 mm de diâmetro interno na sucção e 80 mm de diâmetro na descarga, funcionando com capacidade de 40 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{h}. A pressão manométrica do tanque 1 (na seção de sucção) está a 200 kPa , enquanto o tanque 2 (na seção de descarga) está a 350 kPa . O nível do tanque 1 está a 1,0 \mathrm{~m} do nível da bomba, enquanto o nível do tanque 2 está a 3,0 \mathrm{~m} acima da bomba. O ganho de carga por atrito na linha de sucção é de 0,07 \mathrm{~m}, enquanto a sua perda, na linha de recalque é 0,80 \mathrm{~m}. Sabendo que a pressão atmosférica é 0,93 \mathrm{~atm} e com base na curva característica apresentada, eleja a configuração da bomba em termos de:
a. Diâmetro do rotor;
b. Rendimento (%);
c. Potencia (HP);
d. Potencia consumida (HP).
e. Verifique se existe possibilidade de haver cavitação.

Passo 1

O enunciado dá um sistema de bombeamento de benzeno e pede que a gente escolha/configure a bomba segundo a curva característica (diâmetro do rotor, rendimento, potência e potência consumida) e verifique cavitação. Dados relevantes (vou listar tudo exatamente como está no enunciado):
  • Fluido: benzeno a 37{,}8^\circ\mathrm{C} com \rho=865\\ \mathrm{kg/m^3} e p_\text{vap}=26{,}2\\ \mathrm{kPa}.
  • Vazão: Q=40\\ \mathrm{m^3/h}.
  • Tubulação: seção de sucção diâmetro interno D_1=100\\ \mathrm{mm} e descarga D_2=80\\ \mathrm{mm}.
  • Pressões manométricas nos tanques: tanque 1 (sucção) p_{1,\text{man}}=200\\ \mathrm{kPa}; tanque 2 (descarga) p_{2,\text{man}}=350\\ \mathrm{kPa}.
  • Níveis: nível do tanque 1 está a 1{,}0\\ \mathrm{m} do nível da bomba (o enunciado não especifica “acima” ou “abaixo”, portanto essa informação é ambígua); nível do tanque 2 está a 3{,}0\\ \mathrm{m} acima da bomba.
  • Perdas/fatores: perda por atrito na linha de sucção h_{f,1}=0{,}07\\ \mathrm{m}; perda na linha de recalque h_{f,2}=0{,}80\\ \mathrm{m}.
  • Pressão atmosférica: p_\text{atm}=0{,}93\\ \mathrm{atm}.
  • Curva característica da bomba: o enunciado menciona “com base na curva característica apresentada” — a curva NÃO foi enviada aqui.
Perguntas pedidas:
a. Diâmetro do rotor;
b. Rendimento (%);
c. Potência (HP);
d. Potência consumida (HP);
e. Verificar possibilidade de cavitação.
Observação importante: a curva característica da bomba (e a curva de NPSH_{req}) é necessária para escolher diâmetro do rotor e rendimento, e para comparar NPSH_{req} com o NPSH_{disponível}í. Como a curva não foi fornecida, não é possível determinar unicamente (a partir dos dados disponíveis) o diâmetro do rotor nem o rendimento exato da bomba. Vou, porém, calcular tudo o que é possível com os dados dados (cabeça requerida, potência hidráulica, NPSH disponível, e mostrar como usar a curva para escolher as demais grandezas). Também vou tratar explicitamente a ambiguidade do nível do tanque 1, calculando resultados para as duas possibilidades (tanque 1 1,0 m acima da bomba ou 1,0 m abaixo da bomba).

Passo 2

Converter unidades e calcular velocidades nas tubulações — passo a passo e a fórmula usada.
  • Converter Q para \mathrm{m^3/s}:
Q=\frac{40}{3600}=0{,}0111111111\\ \mathrm{m^3/s}.
  • Áreas das seções transversais:
A_1=\frac{\pi D_1^2}{4}=\frac{\pi (0{,}100)^2}{4}=0{,}0078539816\\ \mathrm{m^2},
A_2=\frac{\pi D_2^2}{4}=\frac{\pi (0{,}080)^2}{4}=0{,}0050265482\\ \mathrm{m^2}.
  • Velocidades médias (fórmula v=Q/A):
v_1=\frac{Q}{A_1}= \frac{0{,}0111111111}{0{,}0078539816}=1{,}41421356\\ \mathrm{m/s},
v_2=\frac{Q}{A_2}= \frac{0{,}0111111111}{0{,}0050265482}=2{,}21039192\\ \mathrm{m/s}.
Explicação didática rápida: para transformar vazão volumétrica em velocidade média na tubulação usamos v=Q/A, onde A é a área da seção. Isso é direto e necessário porque a diferença das velocidades gera termos de energia cinética ( v^2/2g) no balanço de energia.

Passo 3

Calcular o termo da diferença de pressão entre os tanques em termos de coluna de líquido (cabeça de pressão).
  • Primeiro converter a pressão atmosférica para Pa e obter pressões absolutas nos tanques. 1\\ \mathrm{atm}=101{,}325\\ \mathrm{kPa}.
p_\text{atm}=0{,}93\times 101{,}325=94{,}206{,}75\\ \mathrm{kPa}=94{,}206{,}75\\ \mathrm{Pa}.
  • Pressões absolutas:
p_{1,\text{abs}}=p_\text{atm}+p_{1,\text{man}}=94{,}206{,}75+200{,}000=294{,}206{,}75\\ \mathrm{Pa},
p_{2,\text{abs}}=94{,}206{,}75+350{,}000=444{,}206{,}75\\ \mathrm{Pa}.
  • Diferença de pressão convertida em cabeça (usando h_p=\dfrac{\Delta p}{\rho g}, com g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}):
\Delta p = p_{2,\text{abs}}-p_{1,\text{abs}}=150{,}000\\ \mathrm{Pa},
\frac{\Delta p}{\rho g}=\frac{150{,}000}{865\cdot 9{,}81}=\frac{150{,}000}{8{,}488{,}65}\approx 17{,}6769\\ \mathrm{m}.
Comentário: esse termo representa a contribuição de pressão (diferença entre os tanques) expressa em metros de coluna de benzeno que a bomba precisa vencer.

Passo 4

Calcular os termos de energia cinética (cabeças de velocidade) e a diferença entre elas.
  • Cabeças de velocidade:
\frac{v_1^2}{2g}=\frac{(1{,}41421356)^2}{2\cdot 9{,}81}=\frac{2}{19{,}62}\approx 0{,}1019368\\ \mathrm{m},
\frac{v_2^2}{2g}=\frac{(2{,}21039192)^2}{19{,}62}\approx 0{,}249141\\ \mathrm{m}.
  • Diferença:
\frac{v_2^2}{2g}-\frac{v_1^2}{2g}\approx 0{,}249141-0{,}101937\approx 0{,}147204\\ \mathrm{m}.
Explicação: nos balanços de energia entre superfícies, as energias cinéticas aparecem como \dfrac{v^2}{2g}. A bomba precisa também fazer a diferença entre essas energias quando diámetros mudam.

Passo 5

Tratar a ambiguidade do nível do tanque 1; calcular a diferença de elevação entre superfícies dos tanques (termos estáticos).
Há duas interpretações possíveis (porque o enunciado não especifica “acima”/“abaixo” para o tanque 1):
  • Caso A: tanque 1 está a 1{,}0\\ \mathrm{m} abaixo da bomba \Rightarrow z_1=-1{,}0\\ \mathrm{m}, e z_2=+3{,}0\\ \mathrm{m}. Então
z_2-z_1=3-(-1)=4{,}0\\ \mathrm{m}.
  • Caso B: tanque 1 está a 1{,}0\\ \mathrm{m} acima da bomba \Rightarrow z_1=+1{,}0\\ \mathrm{m}, e z_2=+3{,}0\\ \mathrm{m}. Então
z_2-z_1=3-1=2{,}0\\ \mathrm{m}.
Explicação: a parte estática do trabalho que a bomba precisa fazer é a diferença de nível entre a superfície de sucção e a superfície de descarga.

Passo 6

Calcular a carga total (cabeça total) que a bomba precisa fornecer: somar contribuição de pressão, diferença de energia cinética, diferença de nível e perdas nas linhas.
Fórmula utilizada (clássica, do balanço de energia entre as superfícies dos tanques):
H_\text{total}=\frac{p_{2,\text{abs}}-p_{1,\text{abs}}}{\rho g}+\left(\frac{v_2^2}{2g}-\frac{v_1^2}{2g}\right)+(z_2-z_1)+h_{f,1}+h_{f,2}.
Substituindo valores já calculados e perdas h_{f,1}=0{,}07\\ \mathrm{m}, h_{f,2}=0{,}80\\ \mathrm{m}:
  • Caso A (tanque 1 a 1{,}0\\ \mathrm{m} abaixo da bomba, z_2-z_1=4{,}0\\ \mathrm{m}):
H_\text{total}=17{,}6769+0{,}147204+4{,}0+0{,}07+0{,}80 \approx 22{,}6941\\ \mathrm{m}.
  • Caso B (tanque 1 a 1{,}0\\ \mathrm{m} acima da bomba, z_2-z_1=2{,}0\\ \mathrm{m}):
H_\text{total}=17{,}6769+0{,}147204+2{,}0+0{,}07+0{,}80 \approx 20{,}6941\\ \mathrm{m}.
Resumo: a cabeça que a bomba precisa fornecer está entre aproximadamente 20{,}69\\ \mathrm{m} e 22{,}69\\ \mathrm{m}, dependendo da posição relativa do tanque 1.

Passo 7

Calcular a potência hidráulica (potência útil entregue ao fluido) e converter para HP.
Fórmula:
P_\text{hid}=\rho g Q H_\text{total}.
Calcule o fator \rho g Q:
\rho g Q =865\cdot 9{,}81\cdot 0{,}0111111111 \approx 94{,}31833\\ \mathrm{W/m}.
  • Caso A ( H=22{,}6941\\ \mathrm{m}):
P_\text{hid}=94{,}31833\cdot 22{,}6941 \approx 2140{,}69\\ \mathrm{W}=2{,}1407\\ \mathrm{kW}.
Converter para horsepower (1 HP = 746 W):
P_\text{hid,HP}=\frac{2140{,}69}{746}\approx 2{,}870\\ \mathrm{HP}.
  • Caso B ( H=20{,}6941\\ \mathrm{m}):
P_\text{hid}=94{,}31833\cdot 20{,}6941 \approx 1951{,}36\\ \mathrm{W}=1{,}9514\\ \mathrm{kW},
P_\text{hid,HP}=\frac{1951{,}36}{746}\approx 2{,}617\\ \mathrm{HP}.
Explicação: essa é a potência que a bomba deve entregar ao fluido. A potência consumida na árvore/ motor depende do rendimento da bomba (e do motor).

Passo 8

Como escolher diâmetro do rotor e rendimento (explicação didática do procedimento com a curva característica) — por que a curva é necessária e o que fazer quando a tivermos.
  • A curva característica da bomba relaciona carga (head H) com vazão Q para diferentes diâmetros de rotor (ou rotações). Para escolher o diâmetro do rotor, a gente traça a reta da vazão requerida Q=40\\ \mathrm{m^3/h} e encontra na curva o ponto que dá H\approx 20{,}7 22{,}7\\ \mathrm{m}. O diâmetro (ou rotação) cujo ponto de operação coincide com esse par (Q,H) é a configuração a escolher.
  • O rendimento \eta normalmente é dado na curva (ou em uma curva separada de eficiência) para cada ponto. Então, após localizar o ponto de operação, lê-se o rendimento correspondente.
  • Como a curva característica NÃO foi fornecida, não é possível determinar numericamente o diâmetro do rotor nem o rendimento real da bomba. Portanto a letra (a) e (b) não podem ser respondidas unicamente com os dados que temos.

Passo 9

Calcular o NPSH disponível (NPSH_a) passo a passo — fórmula, substituição numérica e interpretação para cavitação.
Fórmula padrão para NPSH_a (avaliado na sucção até a entrada da bomba, em metros de fluido):
NPSH_a=\frac{p_{1,\text{abs}}}{\rho g} + \frac{v_1^2}{2g} + z_1 - \frac{p_\text{vap}}{\rho g} - h_{f,1},
onde z_1 é a cota da superfície do tanque 1 em relação ao centro/olho da bomba (positivo se acima da bomba).
Já temos:
\frac{p_{1,\text{abs}}}{\rho g}\approx 34{,}6589\\ \mathrm{m},
\frac{v_1^2}{2g}\approx 0{,}101937\\ \mathrm{m},
\frac{p_\text{vap}}{\rho g}=\frac{26{,}200}{865\cdot 9{,}81}\approx 3{,}0869\\ \mathrm{m},
h_{f,1}=0{,}07\\ \mathrm{m}.
Calcular NPSH_a para os dois casos de posição do tanque 1:
  • Caso A (tanque 1 a 1{,}0\\ \mathrm{m} abaixo da bomba \Rightarrow z_1=-1{,}0\\ \mathrm{m}):
NPSH_a=34{,}6589+0{,}101937-1{,}0-3{,}0869-0{,}07\approx 30{,}6030\\ \mathrm{m}.
  • Caso B (tanque 1 a 1{,}0\\ \mathrm{m} acima da bomba \Rightarrow z_1=+1{,}0\\ \mathrm{m}):
NPSH_a=34{,}6589+0{,}101937+1{,}0-3{,}0869-0{,}07\approx 32{,}6030\\ \mathrm{m}.
Comentário pedagógico: NPSH_a é a “cabeça disponível acima da pressão de vapor” na sucção da bomba. Quanto maior for NPSH_a, menor a chance de vaporizar o líquido na entrada da bomba (cavitação). Aqui obtivemos NPSH_a muito elevados (≈ 30 33\\ \mathrm{m}), porque a pressão absoluta no tanque de sucção é alta (tanque pressurizado: 200 kPa g), e o nível do líquido relativamente próximo.

Passo 10

Verificação de cavitação — interpretação e conclusão limitada pela falta da curva de NPSH_{req}.
  • Critério prático: para não haver cavitação devemos ter
NPSH_a \gtrsim NPSH_{req},
onde NPSH_{req} é fornecido pelo fabricante (típicos valores para muitas bombas centrífugas variam entre 1 e 6\\ \mathrm{m}, dependendo da bomba e da vazão; mas bombas especiais podem ter NPSH_{req} maiores).
  • Aqui temos NPSH_a\approx 30{,}6 a 32{,}6\\ \mathrm{m}, muito maiores que a pressão de vapor expressa em cabeça ( \approx 3{,}09\\ \mathrm{m}). Logo, a menos que a bomba selecionada tenha um NPSH_{req} extraordinariamente alto (o que é improvável), não há risco de cavitação. Porém, a conclusão definitiva exige comparar com a curva de NPSH_{req} do fabricante — que também não foi fornecida. Portanto, com os dados disponíveis: não há possibilidade prática de cavitação (NPSHa muito grande), mas a verificação final exige NPSH_{req} da curva.

Passo 11

Potência consumida (potência no eixo / potência elétrica) — fórmula e exemplos numéricos ilustrativos.
  • Relação entre potência hidráulica, rendimento da bomba \eta e potência no eixo:
P_\text{eixo}=\frac{P_\text{hid}}{\eta}.
  • Se quisermos potência elétrica consumida pelo motor, dividir por rendimento do motor \eta_m: P_\text{el}=\dfrac{P_\text{eixo}}{\eta_m}.
Como \eta não foi dada (vem da curva), não podemos dar um valor único para a potência consumida. Para referência, mostro alguns exemplos com eficiências típicas:
  • Usando P_\text{hid} do Caso B ( 1{,}9514\\ \mathrm{kW}, 2{,}617\\ \mathrm{HP}):
    • Se \eta=0{,}60 (60%): P_\text{eixo}=\dfrac{1{,}9514}{0{,}60}=3{,}2523\\ \mathrm{kW}=4{,}360\\ \mathrm{HP}.
    • Se \eta=0{,}70 (70%): P_\text{eixo}=2{,}7877\\ \mathrm{kW}=3{,}737\\ \mathrm{HP}.
    • Se \eta=0{,}80 (80%): P_\text{eixo}=2{,}4393\\ \mathrm{kW}=3{,}269\\ \mathrm{HP}.
  • Usando P_\text{hid} do Caso A ( 2{,}1407\\ \mathrm{kW}, 2{,}870\\ \mathrm{HP}) os valores escala proporcionalmente (por exemplo \eta=70\%\Rightarrow P_\text{eixo}=3{,}058\\ \mathrm{kW}\approx 4{,}1\\ \mathrm{HP}).
Conclusão didática: a potência consumida depende diretamente do rendimento da bomba (e do rendimento do motor); sem a curva da bomba não há valor único.

Passo 12

Resumo do que NÃO é possível determinar com os dados fornecidos e o que falta:
  • A letra (a) Diâmetro do rotor: precisa da curva característica (ou curvas para vários diâmetros) — não fornecida → impossível determinar unicamente.
  • A letra (b) Rendimento: precisa da curva de eficiência da bomba no ponto de operação — não fornecida → impossível determinar unicamente.
  • As letras (c) e (d): a potência hidráulica (c) pode ser calculada e foi calculada; a potência consumida (d) depende do rendimento e não pode ser dada de forma única sem a curva. Eu dei os valores hidráulicos (em HP) e exemplos para potências consumidas assumindo eficiências típicas.
  • Letra (e) Cavitação: com os valores de NPSH_a calculados ( \approx 30{,}6 32{,}6\\ \mathrm{m}) não há indicação prática de cavitação; entretanto a verificação final exige o NPSH_{req} do fabricante.

Resposta

a. Diâmetro do rotor: impossível determinar — a curva característica da bomba (ou curvas para diferentes diâmetros) não foi fornecida.
b. Rendimento (%): impossível determinar sem a curva/curva de eficiência da bomba.
c. Potência (HP) — potência hidráulica requerida:
Caso tanque 1 a 1{,}0\\ \mathrm{m} abaixo da bomba: P_\text{hid}\approx 2{,}871\\ \mathrm{HP}.
Caso tanque 1 a 1{,}0\\ \mathrm{m} acima da bomba: P_\text{hid}\approx 2{,}617\\ \mathrm{HP}.
d. Potência consumida (HP): depende do rendimento \eta. Exemplo (Caso B, P_\text{hid}=2{,}617\\ \mathrm{HP}): se \eta=60\%\Rightarrow P_\text{eixo}\approx 4{,}36\\ \mathrm{HP}; se \eta=70\%\Rightarrow P_\text{eixo}\approx 3{,}74\\ \mathrm{HP}; se \eta=80\%\Rightarrow P_\text{eixo}\approx 3{,}27\\ \mathrm{HP}. (Valor exato requer \eta da curva.)
e. Cavitação: dado p_{1,\text{man}}=200\\ \mathrm{kPa} e p_\text{vap}=26{,}2\\ \mathrm{kPa}, o NPSH_a calculado é aproximadamente 30{,}6\\ \mathrm{m} (caso tanque 1 abaixo) a 32{,}6\\ \mathrm{m} (caso tanque 1 acima). Como estes valores são muito maiores do que a cabeça de vapor ( \approx 3{,}09\\ \mathrm{m}) e muito provavelmente maiores que qualquer NPSH_{req} típico, não há indicação prática de cavitação; a verificação final exige o NPSH_{req} do fabricante (curva), que não foi fornecido.

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