Considere x_{n}=\sqrt{n+1} e y_{n}=-\sqrt{n}, e então temos \lim x_{n}=+\infty e \lim y_{n}=-\infty. Mostre que \lim \left(x_{n}+y_{n}\right)=0. Mostre que, tomando x_{n}=n^{2} e y_{n}=-n, tem-se \lim \left(x_{n}+y_{n}\right)=+\infty. Além disso, dê exemplo de sequências x_{n} e y_{n} tal que \lim \left(x_{n}+y_{n}\right) não existe.

Passo 1

O enunciado dá duas situações e pede três coisas distintas. Vou enumerar exatamente o que foi pedido e o que é conhecido em cada caso:
  1. Dado x_{n}=\sqrt{n+1} e y_{n}=-\sqrt{n}, sabemos que \lim x_{n}=+\infty e \lim y_{n}=-\infty. Pede-se: mostrar que \lim\left(x_{n}+y_{n}\right)=0.
  2. Dado x_{n}=n^{2} e y_{n}=-n, pede-se: mostrar que \lim\left(x_{n}+y_{n}\right)=+\infty.
  3. Pedem que eu apresente um exemplo de sequências x_{n} e y_{n} tais que \lim\left(x_{n}+y_{n}\right) não existe (ou seja, o somatório não tem limite).
Estas são as três perguntas que vou resolver passo a passo.

Passo 2

Primeiro lembrete útil (explicação didática): quando dizemos que \lim x_n = +\infty significa que, para cada M>0, existe N tal que para todo n\ge N temos x_n > M. De forma análoga, \lim x_n = 0 significa que, para cada \varepsilon>0, existe N tal que para todo n\ge N temos |x_n-0|<\varepsilon, ou seja |x_n|<\varepsilon. Vou usar estas definições para dar provas formais (mas simples) dos limites pedidos.

Passo 3

Prova de que \lim\big(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\big)=0.
  1. Observe a expressão que precisamos estudar:
x_n+y_n=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}.
  1. Técnica clássica (truque do conjugado): multiplicamos e dividimos por \sqrt{n+1}+\sqrt{n} para simplificar:
\sqrt{n+1}-\sqrt{n} = \frac{(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} = \frac{(n+1)-n}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} = \frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}.
  1. Agora temos uma forma muito clara: a sequência é positiva e igual a 1/(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}). Como \sqrt{n}\to+\infty, o denominador \sqrt{n+1}+\sqrt{n}\to+\infty, logo a fração tende a 0. Para ser totalmente formal com a definição de \varepsilon:
Dado \varepsilon>0, note que para todo n,
0<\sqrt{n+1}-\sqrt{n} =\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} \le\frac{1}{2\sqrt{n}},
pois \sqrt{n+1}+\sqrt{n}\ge 2\sqrt{n}.
Escolha N tal que \frac{1}{2\sqrt{N}}<\varepsilon. Isto é equivalente a N>\frac{1}{4\varepsilon^{2}}. Então, para todo n\ge N,
\left|\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right|=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\le\frac{1}{2\sqrt{n}}\le\frac{1}{2\sqrt{N}}<\varepsilon.
Assim satisfazemos a definição de limite e concluímos que
\lim_{n\to\infty}\big(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\big)=0.

Passo 4

Prova de que \lim\big(n^{2}-n\big)=+\infty.
  1. Escrevemos a soma:
x_n+y_n = n^{2}-n = n(n-1).
  1. Para mostrar que isto tende a +\infty usamos a definição: dado um M>0, precisamos achar N tal que, para todo n\ge N, n(n-1)>M.
  2. Observe a desigualdade útil para n\ge 2:
n-1 \ge \frac{n}{2}
porque para n\ge 2 tem-se n-1 \ge n/2. Multiplicando por n\ge 2 obtemos
n(n-1) \ge \frac{n^{2}}{2}.
  1. Agora, escolhemos N tal que \frac{N^{2}}{2}>M. Por exemplo, tome
N=\max\Big(2,\big\lfloor\sqrt{2M}\big\rfloor+1\Big).
Então para todo n\ge N temos n(n-1)\ge \frac{n^{2}}{2}\ge \frac{N^{2}}{2}>M. Isso prova que para qualquer M existe N com n(n-1)>M para todo n\ge N. Portanto
\lim_{n\to\infty}\big(n^{2}-n\big)=+\infty.

Passo 5

Exemplo de sequências x_{n} e y_{n} tais que \lim\left(x_{n}+y_{n}\right) não existe.
Vou dar um exemplo simples e muito comum em provas:
Defina
x_n = n,\qquad y_n = -n + (-1)^n.
  1. Verificação rápida das propriedades: claramente x_n\to+\infty e y_n\to-\infty (pois o termo dominante em y_n é -n), então os termos individuais divergem para \pm\infty respectivamente.
  2. Mas a soma é
x_n+y_n = n + \big(-n + (-1)^n\big) = (-1)^n.
  1. A sequência ((-1)^n) não tem limite quando n\to\infty, porque os termos alternam entre 1 (quando n é par) e -1 (quando n é ímpar). Formalmente, existem duas subsequências com limites distintos:
\text{para } n=2k,\; x_{2k}+y_{2k}=1\to 1,
\text{para } n=2k+1,\; x_{2k+1}+y_{2k+1}=-1\to -1.
Como as subsequências têm limites diferentes, a sequência original não converge. Portanto este é um exemplo onde \lim\big(x_n+y_n\big) não existe.

Resposta

\displaystyle \lim_{n\to\infty}\big(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\big)=0
\displaystyle \lim_{n\to\infty}\big(n^{2}-n\big)=+\infty
Um exemplo onde o limite da soma não existe: x_{n}=n,\; y_{n}=-n+(-1)^{n}, pois x_{n}+y_{n}=(-1)^{n} não converge.

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