Considere x_{n}=\sqrt{n+1} e y_{n}=-\sqrt{n}, e então temos \lim x_{n}=+\infty e \lim y_{n}=-\infty. Mostre que \lim \left(x_{n}+y_{n}\right)=0. Mostre que, tomando x_{n}=n^{2} e y_{n}=-n, tem-se \lim \left(x_{n}+y_{n}\right)=+\infty. Além disso, dê exemplo de sequências x_{n} e y_{n} tal que \lim \left(x_{n}+y_{n}\right) não existe.
Passo 1
O enunciado dá duas situações e pede três coisas distintas. Vou enumerar exatamente o que foi pedido e o que é conhecido em cada caso:
Dado x_{n}=\sqrt{n+1} e y_{n}=-\sqrt{n}, sabemos que \lim x_{n}=+\infty e \lim y_{n}=-\infty. Pede-se: mostrar que \lim\left(x_{n}+y_{n}\right)=0.
Dado x_{n}=n^{2} e y_{n}=-n, pede-se: mostrar que \lim\left(x_{n}+y_{n}\right)=+\infty.
Pedem que eu apresente um exemplo de sequências x_{n} e y_{n} tais que \lim\left(x_{n}+y_{n}\right) não existe (ou seja, o somatório não tem limite).
Estas são as três perguntas que vou resolver passo a passo.
Passo 2
Primeiro lembrete útil (explicação didática): quando dizemos que \lim x_n = +\infty significa que, para cada M>0, existe N tal que para todo n\ge N temos x_n > M. De forma análoga, \lim x_n = 0 significa que, para cada \varepsilon>0, existe N tal que para todo n\ge N temos |x_n-0|<\varepsilon, ou seja |x_n|<\varepsilon. Vou usar estas definições para dar provas formais (mas simples) dos limites pedidos.
Passo 3
Prova de que \lim\big(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\big)=0.
Observe a expressão que precisamos estudar:
x_n+y_n=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}.
Técnica clássica (truque do conjugado): multiplicamos e dividimos por \sqrt{n+1}+\sqrt{n} para simplificar:
Agora temos uma forma muito clara: a sequência é positiva e igual a 1/(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}). Como \sqrt{n}\to+\infty, o denominador \sqrt{n+1}+\sqrt{n}\to+\infty, logo a fração tende a 0. Para ser totalmente formal com a definição de \varepsilon:
Então para todo n\ge N temos n(n-1)\ge \frac{n^{2}}{2}\ge \frac{N^{2}}{2}>M. Isso prova que para qualquer M existe N com n(n-1)>M para todo n\ge N. Portanto
\lim_{n\to\infty}\big(n^{2}-n\big)=+\infty.
Passo 5
Exemplo de sequências x_{n} e y_{n} tais que \lim\left(x_{n}+y_{n}\right) não existe.
Vou dar um exemplo simples e muito comum em provas:
Defina
x_n = n,\qquad y_n = -n + (-1)^n.
Verificação rápida das propriedades: claramente x_n\to+\infty e y_n\to-\infty (pois o termo dominante em y_n é -n), então os termos individuais divergem para \pm\infty respectivamente.
Mas a soma é
x_n+y_n = n + \big(-n + (-1)^n\big) = (-1)^n.
A sequência ((-1)^n) não tem limite quando n\to\infty, porque os termos alternam entre 1 (quando n é par) e -1 (quando n é ímpar). Formalmente, existem duas subsequências com limites distintos: