Mostre que
.
Dica: Use o fato de que
, para todo
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que
Informações fornecidas e úteis:
- A sequência considerada é dada pelos termos
para inteiro positivo, com . - Dica do enunciado: usar o fato de que
, para todo . - Vamos precisar também de propriedades básicas do logaritmo natural, como
.
Passo 2
Primeiro faça uma manipulação algébrica simples com logaritmos para separar a parte que tende a 1 da parte que tende a 0. Usando
com
e
temos
Dividindo por
obtemos
Logo, para mostrar que a razão tende a
basta mostrar que a fração
tende a
quando
.
Passo 3
Vamos agora estudar o numerador
. Note que para
temos
, então
Também usamos a desigualdade básica para logaritmo de soma: para todo
vale
Uma forma simples e elementar de ver isso é escrever a integral
e observar que, para
com
,
. Integrando, obtemos
. Aplicando com
dá
Passo 4
Com a desigualdade do passo anterior podemos controlar a fração que queremos:
Portanto basta mostrar que o lado direito
tende a
quando
.
Passo 5
Mostramos que
. Para isso, note que para
temos
, logo para
Como
quando
, pelo confronto segue que
também. Assim a desigualdade do passo anterior implica
Passo 6
Voltando à expressão do Passo 2,
e como acabamos de mostrar a segunda parcela tende a
, concluímos que
Observação final: para todo
a fração é maior que
(porque
), então a convergência é por valores ligeiramente acima de
, aproximando-se de
.