Mostre que \lim _{n \longrightarrow+\infty} \frac{\ln (n+1)}{\ln n}=1.
Dica: Use o fato de que \ln x<x, para todo x>0.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
\lim_{n\to+\infty}\frac{\ln(n+1)}{\ln n}=1.
Informações fornecidas e úteis:
  • A sequência considerada é dada pelos termos \frac{\ln(n+1)}{\ln n} para n inteiro positivo, com n\to+\infty.
  • Dica do enunciado: usar o fato de que \ln x<x, para todo x>0.
  • Vamos precisar também de propriedades básicas do logaritmo natural, como \ln(ab)=\ln a+\ln b.

Passo 2

Primeiro faça uma manipulação algébrica simples com logaritmos para separar a parte que tende a 1 da parte que tende a 0. Usando \ln(ab)=\ln a+\ln b com a=n e b=1+1/n temos
\ln(n+1)=\ln\big(n(1+1/n)\big)=\ln n+\ln\!\big(1+\tfrac{1}{n}\big).
Dividindo por \ln n obtemos
\frac{\ln(n+1)}{\ln n}=1+\frac{\ln\!\big(1+\tfrac{1}{n}\big)}{\ln n}.
Logo, para mostrar que a razão tende a 1 basta mostrar que a fração
\frac{\ln\!\big(1+\tfrac{1}{n}\big)}{\ln n}
tende a 0 quando n\to\infty.

Passo 3

Vamos agora estudar o numerador \ln\!\big(1+\tfrac{1}{n}\big). Note que para n\ge 1 temos 1+\tfrac{1}{n}>1, então
\ln\!\big(1+\tfrac{1}{n}\big)>0.
Também usamos a desigualdade básica para logaritmo de soma: para todo u>-1 vale
\ln(1+u)\le u.
Uma forma simples e elementar de ver isso é escrever a integral
\ln(1+u)=\int_{0}^{u}\frac{1}{1+t}\,dt
e observar que, para t\in[0,u] com u>0, 1/(1+t)\le 1. Integrando, obtemos \ln(1+u)\le u. Aplicando com u=\tfrac{1}{n}>0
0<\ln\!\big(1+\tfrac{1}{n}\big)\le \tfrac{1}{n}.

Passo 4

Com a desigualdade do passo anterior podemos controlar a fração que queremos:
0<\frac{\ln\!\big(1+\tfrac{1}{n}\big)}{\ln n}\le \frac{1/n}{\ln n}=\frac{1}{n\ln n}.
Portanto basta mostrar que o lado direito \dfrac{1}{n\ln n} tende a 0 quando n\to\infty.

Passo 5

Mostramos que \dfrac{1}{n\ln n}\to 0. Para isso, note que para n\ge e temos \ln n\ge 1, logo para n\ge e
0<\frac{1}{n\ln n}\le \frac{1}{n}.
Como \dfrac{1}{n}\to 0 quando n\to\infty, pelo confronto segue que \dfrac{1}{n\ln n}\to 0 também. Assim a desigualdade do passo anterior implica
\frac{\ln\!\big(1+\tfrac{1}{n}\big)}{\ln n}\to 0\quad\text{quando }n\to\infty.

Passo 6

Voltando à expressão do Passo 2,
\frac{\ln(n+1)}{\ln n}=1+\frac{\ln\!\big(1+\tfrac{1}{n}\big)}{\ln n},
e como acabamos de mostrar a segunda parcela tende a 0, concluímos que
\lim_{n\to+\infty}\frac{\ln(n+1)}{\ln n}=1+0=1.
Observação final: para todo n a fração é maior que 1 (porque \ln(n+1)>\ln n), então a convergência é por valores ligeiramente acima de 1, aproximando-se de 1.

Resposta

1

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