Sejam a \geq 0 e b \geq 0. Prove que \lim _{n \longrightarrow \infty} \sqrt[n]{a^{n}+b^{n}}=\max \{a, b\}.

Passo 1

O enunciado dá as informações: a\ge 0 e b\ge 0. A quantidade cuja convergência devemos provar é \sqrt[n]{a^{n}+b^{n}} quando n\to\infty. A pergunta é: mostrar que
\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a^{n}+b^{n}}=\max\{a,b\}.
Listei explicitamente os dados e o que precisa ser provado.

Passo 2

Vamos organizar variáveis úteis. Defina
M=\max\{a,b\}, \qquad m=\min\{a,b\}.
Então M\ge m\ge 0 e exatamente um dos seguintes ocorre: M=0 ou M>0. Vamos tratar primeiro o caso mais simples M=0, depois o caso M>0.

Passo 3

Caso M=0. Se M=0 então a=0 e b=0. Para todo n temos a^{n}+b^{n}=0 e portanto
\sqrt[n]{a^{n}+b^{n}}=\sqrt[n]{0}=0.
Logo o limite é 0, e como M=0 temos \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a^{n}+b^{n}}=M=\max\{a,b\}. Esse caso está resolvido.

Passo 4

Agora o caso M>0. Para eliminar potências grandes é comum fatorar M^{n}. Escrevemos
\sqrt[n]{a^{n}+b^{n}}=\sqrt[n]{M^{n}\Big(\big(\tfrac{a}{M}\big)^{n}+\big(\tfrac{b}{M}\big)^{n}\Big)}.
Como M>0 podemos tirar M^{n} para fora da raiz n-ésima:
\sqrt[n]{a^{n}+b^{n}}=M\cdot\Big(\big(\tfrac{a}{M}\big)^{n}+\big(\tfrac{b}{M}\big)^{n}\Big)^{1/n}.

Passo 5

Observe que, pela definição de M e m,
\frac{a}{M}\le 1,\qquad \frac{b}{M}\le 1,
e pelo menos um dos dois é igual a 1 (o que corresponde ao elemento que é o máximo). Assim, se definirmos
r=\frac{m}{M},
então 0\le r\le 1. Além disso, como M é o máximo, temos
\big(\tfrac{a}{M}\big)^{n}+\big(\tfrac{b}{M}\big)^{n}\le 1+r^{n}\le 1+1=2,
mas também a soma é pelo menos 1 porque o termo correspondente a M é 1^{n}=1. Portanto para todo n
1\le \big(\tfrac{a}{M}\big)^{n}+\big(\tfrac{b}{M}\big)^{n}\le 1+r^{n}\le 2.

Passo 6

Aplicando a função x\mapsto x^{1/n} (que é crescente para x\ge 0) aos membros da desigualdade do Passo 5, obtemos
1 \le \Big(\big(\tfrac{a}{M}\big)^{n}+\big(\tfrac{b}{M}\big)^{n}\Big)^{1/n} \le (1+r^{n})^{1/n} \le 2^{1/n}.
Então, multiplicando tudo por M,
M \le \sqrt[n]{a^{n}+b^{n}} \le M\cdot 2^{1/n}.

Passo 7

Agora vamos estudar o comportamento de 2^{1/n} quando n\to\infty. Uma maneira simples e elementar é usar logaritmos: para c>0 fixo temos
c^{1/n}=e^{\frac{\ln c}{n}}.
Como \ln c é constante, \frac{\ln c}{n}\to 0 quando n\to\infty, portanto e^{\frac{\ln c}{n}}\to e^{0}=1. Aplicando isso com c=2 concluímos
\lim_{n\to\infty}2^{1/n}=1.
(Se preferir, pense em 2^{1/n} como a raiz n-ésima de um número fixo: conforme n cresce a raiz tende a aproximar-se de 1.)

Passo 8

Voltando à desigualdade do Passo 6, temos para todo n
M \le \sqrt[n]{a^{n}+b^{n}} \le M\cdot 2^{1/n}.
Pelo Passo 7 sabemos que M\cdot 2^{1/n}\to M\cdot 1=M quando n\to\infty. Assim a sequência \sqrt[n]{a^{n}+b^{n}} fica “espremida” entre duas sequências que convergem para M. Pelo Teorema do Aperto (teorema do sanduíche / squeeze theorem) concluímos
\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a^{n}+b^{n}}=M.

Passo 9

Recapitulando: tratamos M=0 e M>0 e em ambos os casos obtivemos que o limite é M=\max\{a,b\}. Portanto a prova está completa. Força aí — essa é uma das identidades clássicas com raízes n-ésimas e potências, e dá pra lembrar rapidamente fatorando pelo maior termo e usando que coisas do tipo c^{1/n} vão para 1.

Resposta

\displaystyle \max\{a,b\}

Exercícios relacionados