Sejam
e
. Prove que
.
Passo 1
O enunciado dá as informações:
e
. A quantidade cuja convergência devemos provar é
quando
. A pergunta é: mostrar que
Listei explicitamente os dados e o que precisa ser provado.
Passo 2
Vamos organizar variáveis úteis. Defina
Então
e exatamente um dos seguintes ocorre:
ou
. Vamos tratar primeiro o caso mais simples
, depois o caso
.
Passo 3
Caso
. Se
então
e
. Para todo
temos
e portanto
Logo o limite é
, e como
temos
. Esse caso está resolvido.
Passo 4
Agora o caso
. Para eliminar potências grandes é comum fatorar
. Escrevemos
Como
podemos tirar
para fora da raiz
-ésima:
Passo 5
Observe que, pela definição de
e
,
e pelo menos um dos dois é igual a
(o que corresponde ao elemento que é o máximo). Assim, se definirmos
então
. Além disso, como
é o máximo, temos
mas também a soma é pelo menos
porque o termo correspondente a
é
. Portanto para todo
Passo 6
Aplicando a função
(que é crescente para
) aos membros da desigualdade do Passo 5, obtemos
Então, multiplicando tudo por
,
Passo 7
Agora vamos estudar o comportamento de
quando
. Uma maneira simples e elementar é usar logaritmos: para
fixo temos
Como
é constante,
quando
, portanto
. Aplicando isso com
concluímos
(Se preferir, pense em
como a raiz
-ésima de um número fixo: conforme
cresce a raiz tende a aproximar-se de
.)
Passo 8
Voltando à desigualdade do Passo 6, temos para todo
Pelo Passo 7 sabemos que
quando
. Assim a sequência
fica “espremida” entre duas sequências que convergem para
. Pelo Teorema do Aperto (teorema do sanduíche / squeeze theorem) concluímos
Passo 9
Recapitulando: tratamos
e
e em ambos os casos obtivemos que o limite é
. Portanto a prova está completa. Força aí — essa é uma das identidades clássicas com raízes
-ésimas e potências, e dá pra lembrar rapidamente fatorando pelo maior termo e usando que coisas do tipo
vão para
.