Prove que, dadas duas sequências de números positivos, \left(x_{n}\right) e \left(y_{n}\right), se \lim \frac{x_{n}}{y_{n}}=0, então y_{n}>x_{n} para n suficientemente grande.
Passo 1
O enunciado dá duas sequências de números positivos \left(x_{n}\right) e \left(y_{n}\right) e a informação
\lim_{n\to\infty}\frac{x_{n}}{y_{n}}=0.
O que nos pedem para provar é que existe um índice a partir do qual y_{n}>x_{n}. Em linguagem matemática: provar que existe N\in\mathbb{N} tal que, para todo n\ge N, vale y_{n}>x_{n}.
Informações relevantes fornecidas:
Para todo n, temos x_{n}>0 e y_{n}>0.
O limite da sequência \left(\dfrac{x_{n}}{y_{n}}\right) é 0.
Passo 2
Vamos lembrar o significado preciso de \lim_{n\to\infty}\dfrac{x_{n}}{y_{n}}=0. A definição formal de limite diz: para todo \varepsilon>0 existe N\in\mathbb{N} tal que, para todo n\ge N,
\left|\frac{x_{n}}{y_{n}}-0\right|<\varepsilon.
Aqui a expressão dentro do valor absoluto é \dfrac{x_{n}}{y_{n}}. Como x_{n} e y_{n} são positivos, a razão \dfrac{x_{n}}{y_{n}} é um número não negativo, então \left|\dfrac{x_{n}}{y_{n}}-0\right|=\dfrac{x_{n}}{y_{n}}. Assim a definição fica: para todo \varepsilon>0 existe N tal que, para todo n\ge N,
\frac{x_{n}}{y_{n}}<\varepsilon.
Passo 3
Escolhemos um valor conveniente para \varepsilon. A escolha clássica e simples é \varepsilon=1. Pelo que dissemos no passo anterior, como \dfrac{x_{n}}{y_{n}}\to 0, existe algum N\in\mathbb{N} tal que, para todo n\ge N,
\frac{x_{n}}{y_{n}}<1.
Passo 4
A partir da desigualdade \dfrac{x_{n}}{y_{n}}<1 e sabendo que y_{n}>0, podemos multiplicar ambos os lados por y_{n} sem inverter a desigualdade. Multiplicando, obtemos, para todo n\ge N,
x_{n}<y_{n}.
Aqui usei explicitamente que y_{n}>0; se y_{n} fosse negativo a multiplicação mudaria o sinal da desigualdade, mas esse não é o caso.
Passo 5
Portanto mostrámos que existe N tal que, para todo n\ge N, vale x_{n}<y_{n}. Isso é exatamente o que queríamos provar: a partir de certo índice, os termos da sequência y_{n} são maiores que os termos correspondentes x_{n}.
Um exemplo concreto para fixar a intuição: tome x_{n}=\dfrac{1}{n} e y_{n}=1. Então \dfrac{x_{n}}{y_{n}}=\dfrac{1}{n}\to 0. Escolhendo \varepsilon=1 obtemos \dfrac{1}{n}<1 sempre que n\ge 2, e assim para n\ge 2 temos x_{n}<y_{n}. Isso ilustra como a escolha \varepsilon=1 produz um N prático que garante y_{n}>x_{n}.
Resposta
Existe N\in\mathbb{N} tal que, para todo n\ge N, y_{n}>x_{n}.