Determine a derivada das seguintes funções:
,
Passo 1
O enunciado pede para determinar a derivada da função
Informações dadas que vamos usar:
O que se pede: calcular
, ou seja, a derivada de
em função de
.
Passo 2
Relembrando regras de derivação que vamos usar (com explicação simples):
- Derivada de uma função composta
: é . Intuição: você deriva a camada externa avaliando-a na camada interna e multiplica pela taxa de variação da camada interna. - Derivada de
em relação a : é . Aqui é qualquer função de . - Derivada de
: é . - Derivada de uma constante multiplicando uma função:
. - Derivada de
é .
Exemplo rápido e intuitivo: se
, aplicando as regras dá
. Aqui o
saiu multiplicando porque é a derivada da parte interna
.
Passo 3
Vamos identificar as camadas (escrever funções intermediárias para não se perder):
Então
. A ideia é aplicar a regra da cadeia três vezes (uma para cada composição).
Passo 4
Derivando a camada mais externa usando a regra para
:
Substituímos
depois que encontrarmos
.
Passo 5
Agora calculamos
. Como
com
, temos
E
, por sua vez, é derivada de
:
Passo 6
Derivando
obtemos
Substituindo em
e depois em
:
Passo 7
Volto para
da Passo 4 e substituo
:
Agrupando os fatores constantes:
Passo 8
Cheque rápido (sanity check): se
temos
e
, então
. Faz sentido porque a expressão final prevê isso. No exame, faça exatamente essas substituições rápidas para conferir plausibilidade.