Determine a derivada das seguintes funções:
f(x)=\cos \left(5 \operatorname{sen}\left(\frac{x}{3}\right)\right),

Passo 1

O enunciado pede para determinar a derivada da função
f(x)=\cos\!\left(5\,\operatorname{sen}\!\left(\frac{x}{3}\right)\right).
Informações dadas que vamos usar:
\text{a função é uma composição: }\; x \mapsto \frac{x}{3}\mapsto \operatorname{sen}\!\big(\frac{x}{3}\big)\mapsto 5\operatorname{sen}\!\big(\frac{x}{3}\big)\mapsto \cos\!\big(5\operatorname{sen}\!\big(\frac{x}{3}\big)\big).çãéçã
O que se pede: calcular f'(x), ou seja, a derivada de f em função de x.

Passo 2

Relembrando regras de derivação que vamos usar (com explicação simples):
  • Derivada de uma função composta g(u(x)): é g'(u(x))\cdot u'(x). Intuição: você deriva a camada externa avaliando-a na camada interna e multiplica pela taxa de variação da camada interna.
  • Derivada de \cos(u) em relação a x: é -\sin(u)\cdot u'. Aqui u é qualquer função de x.
  • Derivada de \operatorname{sen}(u): é \cos(u)\cdot u'.
  • Derivada de uma constante multiplicando uma função: \dfrac{d}{dx}\big(c\cdot h(x)\big)=c\cdot h'(x).
  • Derivada de \dfrac{x}{3} é \dfrac{1}{3}.
Exemplo rápido e intuitivo: se h(x)=\cos(2x), aplicando as regras dá h'(x)=-\sin(2x)\cdot 2. Aqui o 2 saiu multiplicando porque é a derivada da parte interna 2x.

Passo 3

Vamos identificar as camadas (escrever funções intermediárias para não se perder):
u(x)=5\,\operatorname{sen}\!\big(\tfrac{x}{3}\big), \qquad v(x)=\operatorname{sen}\!\big(\tfrac{x}{3}\big), \qquad w(x)=\tfrac{x}{3}.
Então f(x)=\cos(u(x)). A ideia é aplicar a regra da cadeia três vezes (uma para cada composição).

Passo 4

Derivando a camada mais externa usando a regra para \cos:
f'(x) = -\sin\big(u(x)\big)\cdot u'(x).
Substituímos u(x) depois que encontrarmos u'(x).

Passo 5

Agora calculamos u'(x). Como u(x)=5\cdot v(x) com v(x)=\operatorname{sen}(w(x)), temos
u'(x)=5\cdot v'(x).
E v'(x), por sua vez, é derivada de \operatorname{sen}(w(x)):
v'(x)=\cos\big(w(x)\big)\cdot w'(x).

Passo 6

Derivando w(x)=\tfrac{x}{3} obtemos
w'(x)=\tfrac{1}{3}.
Substituindo em v'(x) e depois em u'(x):
v'(x)=\cos\!\big(\tfrac{x}{3}\big)\cdot \tfrac{1}{3}, \qquad u'(x)=5\cdot \left(\cos\!\big(\tfrac{x}{3}\big)\cdot \tfrac{1}{3}\right)=\tfrac{5}{3}\cos\!\big(\tfrac{x}{3}\big).

Passo 7

Volto para f'(x) da Passo 4 e substituo u'(x):
f'(x) = -\sin\!\big(u(x)\big)\cdot u'(x) = -\sin\!\left(5\,\operatorname{sen}\!\big(\tfrac{x}{3}\big)\right)\cdot \left(\tfrac{5}{3}\cos\!\big(\tfrac{x}{3}\big)\right).
Agrupando os fatores constantes:
f'(x) = -\tfrac{5}{3}\,\sin\!\left(5\,\operatorname{sen}\!\big(\tfrac{x}{3}\big)\right)\cos\!\big(\tfrac{x}{3}\big).

Passo 8

Cheque rápido (sanity check): se x=0 temos \operatorname{sen}(0)=0 e \sin(5\cdot 0)=0, então f'(0)=0. Faz sentido porque a expressão final prevê isso. No exame, faça exatamente essas substituições rápidas para conferir plausibilidade.

Resposta

f'(x)=-\tfrac{5}{3}\,\sin\!\left(5\,\operatorname{sen}\!\big(\tfrac{x}{3}\big)\right)\cos\!\big(\tfrac{x}{3}\big).

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