Considere que
e
são variáveis aleatórias independentes com distribuição Normal Padrão. Encontre a função geradora de momentos conjunta de
e
.
Passo 1
Beleza, olha só o que a questão pede: temos duas variáveis aleatórias independentes
e
, cada uma com distribuição Normal Padrão (ou seja, média zero e variância 1). A parada é encontrar a função geradora de momentos (MGF, de “moment generating function”) conjunta delas, que a gente vai chamar de
Para resolver isso, a gente vai usar:
1. A definição de MGF.
2. A propriedade de independência (que dá pra fatorar a esperança).
3. A MGF conhecida da Normal Padrão.
Passo 2
Primeiro, anota direitinho a definição da MGF conjunta:
Isso quer dizer que a gente precisa calcular a expectativa do expoente
Passo 3
Agora entra um truque chave: como
e
são independentes, a esperança de um produto é o produto das esperanças. Matematicamente:
Passo 4
Aí a gente só precisa lembrar da MGF de uma variável
, que é um resultado padrão:
Isso vale tanto para
Passo 5
Substituindo:
- Para
: . - Para
: .
Logo, multiplicando:
Resposta
A função geradora de momentos conjunta é