Considere que X e Y são variáveis aleatórias independentes com distribuição Normal Padrão. Encontre a função geradora de momentos conjunta de X e Y.

Passo 1

Beleza, olha só o que a questão pede: temos duas variáveis aleatórias independentes X e Y, cada uma com distribuição Normal Padrão (ou seja, média zero e variância 1). A parada é encontrar a função geradora de momentos (MGF, de “moment generating function”) conjunta delas, que a gente vai chamar de
MX,Y(t1,t2) = E[e^,t1X + t2Y]
Para resolver isso, a gente vai usar:
1. A definição de MGF.
2. A propriedade de independência (que dá pra fatorar a esperança).
3. A MGF conhecida da Normal Padrão.

Passo 2

Primeiro, anota direitinho a definição da MGF conjunta:
MX,Y(t1,t2) = E[e^,t1X + t2Y]
Isso quer dizer que a gente precisa calcular a expectativa do expoente t1X + t2Y.

Passo 3

Agora entra um truque chave: como X e Y são independentes, a esperança de um produto é o produto das esperanças. Matematicamente:
E[e^,t1X + t2Y] = E[e^,t1X,e^,t2Y] = E[e^,t1X];times;E[e^,t2Y]

Passo 4

Aí a gente só precisa lembrar da MGF de uma variável Zsim N(0,1), que é um resultado padrão:
E[e^,tZ] = e^,tfract^22
Isso vale tanto para Z=X (com parâmetro t1) quanto para Z=Y (com parâmetro t2).

Passo 5

Substituindo:
  • Para X: E[e^t1X] = e^,t1^2/2.
  • Para Y: E[e^t2Y] = e^,t2^2/2.
    Logo, multiplicando:
MX,Y(t1,t2) = e^,t1^2/2;times;e^,t2^2/2 = e^,t1^2 + t2^22

Resposta

A função geradora de momentos conjunta é
boxedMX,Y(t1,t2) = exp!g(t1^2 + t2^22g)

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