Suponha que X1, X2, ldots, Xn e uma amostra aleatória de uma população Exponencial( lambda ) cuja função densidade é dada por:
f(x, lambda)=lambda exp -lambda x I(0, infty)(x)
Encontre a distribuição de Y=sumi=1^n Xi.

Passo 1

Beleza, então o enunciado diz que fX(x)=lambda e^-lambda x, x>0 são iid (independentes e identicamente distribuídas) com distribuição Exponencial de parâmetro Y=sumi=1^n Xi , ou seja
A gente precisa achar a distribuição da soma
O que vai rolar aqui é usar o conceito de convolução de densidades (para somar variáveis independentes) e reconhecer que isso gera a distribuição Gama/Erlang.

Passo 2

Antes de meter o caso geral, vamos entender a convolução com duas variáveis. Se fU+V(y)=integral0^yfU(x),fV(y-x),dx e fU+V(y) =integral0^y lambda e^-lambda x ;lambda e^-lambda (y-x),dx =lambda^2 e^-lambda yintegral0^ydx =lambda^2,y,e^-lambda y, , então a densidade de é
Como e , temos
para . Isso mostra que a soma de duas Expo( ) é uma Erlang de ordem 2.

Passo 3

Agora é só generalizar por indução. Suponha que a soma de fSn-1(t) =lambda^,n-1(n-2)!,t^,n-2,e^-lambda t, t>0 variáveis dá
fSn(y) =integral0^yfSn-1(t),fXn(y-t),dt =integral0^y lambda^,n-1(n-2)!,t^,n-2e^-lambda t ;lambda e^-lambda(y-t),dt
Para fSn(y) =lambda^n,e^-lambda y(n-2)! integral0^yt^,n-2,dt =lambda^n,e^-lambda y(n-2)!,y^,n-1n-1 =lambda^n(n-1)!,y^,n-1e^-lambda y , aplicamos convolução outra vez:
Juntando os expoentes e fatores dá

Resposta

A soma boxed fY(y) =lambda^n(n-1)!,y^,n-1,e^-lambda y, y>0 tem distribuição Gama (ou Erlang) de parâmetros e , com densidade

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