Suponha que
e uma amostra aleatória de uma população Exponencial(
) cuja função densidade é dada por:
Encontre a distribuição de
.
Passo 1
Beleza, então o enunciado diz que
são iid (independentes e identicamente distribuídas) com distribuição Exponencial de parâmetro
, ou seja
A gente precisa achar a distribuição da soma
O que vai rolar aqui é usar o conceito de convolução de densidades (para somar variáveis independentes) e reconhecer que isso gera a distribuição Gama/Erlang.
Passo 2
Antes de meter o caso geral, vamos entender a convolução com duas variáveis. Se
e
, então a densidade de
é
Como
e
, temos
para
. Isso mostra que a soma de duas Expo(
) é uma Erlang de ordem 2.
Passo 3
Agora é só generalizar por indução. Suponha que a soma de
variáveis dá
Para
, aplicamos convolução outra vez:
Juntando os expoentes e fatores dá
Resposta
A soma
tem distribuição Gama (ou Erlang) de parâmetros
e
, com densidade