Seja X1, X2, ldots, Xn uma amostra aleatoria de uma população Exponencial( beta ).
Especificamente, Xi poderia representar o tempo ate a falha (medida em anos) para n equipamentos idênticos colocados em teste.
Qual é a probabilidade de que todos os equipamentos durem mais de 2 anos?

Passo 1

Beleza, vamos recapitular o que a questão pede. A gente tem que são tempos até falha de equipamentos, e cada segue uma distribuição Exponencial com parâmetro . A pergunta é: “qual a probabilidade de que todos os equipamentos durem mais de 2 anos?”
Conteúdo: distribuição Exponencial, função de sobrevivência e independência de amostras. Vamos precisar da expressão da probabilidade para Exponencial e depois usar que as amostras são independentes.

Passo 2

Primeiro, recordando a teoria da Exponencial: se fX(x)=1beta e^-x/beta, x>=0, , a função densidade é
P(X>t)=integralt^infty1beta e^-x/beta,dx =;e^-t/beta
e a função de sobrevivência (probabilidade de exceder um tempo ) é

Passo 3

No nosso caso, queremos P(Xi>2)=e^-2/beta para cada equipamento. Então,
Agora, como os são independentes, a probabilidade de todos durarem mais de 2 anos é o produto dessas probabilidades individuais.

Passo 4

Usando independência,
P(todos duram>2)=prodi=1^n P(Xi>2) =l(e^-2/betar)^n =e^-2n/beta

Resposta

boxedP(todos os n equipamentos durarem mais de 2 anos)=e^-2n/beta

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