Considere
x1=(l 2 1 3 ), x2=(c 3 -1 4 ) , x3=(l 2 6 4 )
(a) Mostre que x1, x2, x3 são linearmente dependentes.
(b) Mostre que x1, x2 são linearmente independentes.
(c) Qual a dimensão de [x1, x2, x3] ?
(d) Descreva geometricamente [x1, x2, x3].

Passo 1

O enunciado dá os vetores x1,x2,x3inR^3 e pede:
(a) mostrar que são linearmente dependentes,
(b) mostrar que x1,x2 são linearmente independentes,
(c) encontrar a dimensão de l[x1,x2,x3r],
(d) descrever geometricamente esse subespaço.
Vamos usar a definição de combinação linear, resolver sistemas lineares e aplicar o conceito de dimensão e span.

Passo 2

Para (a), buscamos escalares
Isso gera o sistema
Da segunda equação vem , obtemos
logo há relação não trivial e os vetores são linearmente dependentes.

Passo 3

Para (b), escrevemos
alpha,x1+beta,x2=0
e obtemos
2alpha+3beta=0, alpha-beta=0, 3alpha+4beta=0
Da segunda equação alpha=beta. Substituindo na primeira dá 5alpha=0, logo alpha=beta=0. Não existe combinação não trivial, então x1,x2 são independentes.

Passo 4

Para (c), como x1,x2 são independentes e x3 é combinação deles, o espaço gerado tem dimensão 2.

Passo 5

Para (d), l[x1,x2,x3r] é o plano em R^3 que passa pela origem e é gerado por x1 e x2.

Resposta

(a) São linearmente dependentes, pois -4x1+2x2+x3=0.
(b) São linearmente independentes, já que alphax1+betax2=0 implica alpha=beta=0.
(c) diml[x1,x2,x3r]=2.
(d) É um plano passando pela origem em R^3, gerado por x1 e x2.

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