Mostre, geometricamente e algébricamente, que o sistema é inconsistente.
l x+y=2 x-y=0 2 x+y=2

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o sistema
x + y = 2, x - y = 0, 2x + y = 2
é inconsistente, ou seja, não tem solução comum para (x,y). Vamos usar dois caminhos: um algébrico (eliminação e substituição) e outro geométrico (interpretação como retas no plano).

Passo 2

Pelo método algébrico, da segunda equação
x - y = 0
segue que
y = x
Substituindo em x+y=2, temos
x + x = 2 Longrightarrow 2x = 2 Longrightarrow x = 1,
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y = 1

Passo 3

Agora verificamos se (1,1) satisfaz a terceira equação 2x+y=2:
2 cdot 1 + 1 = 3 neq 2
Como não há maneira de ajustar x e y para satisfazer todas as três simultaneamente, concluímos algebricamente que o sistema não tem solução.

Passo 4

Pelo método geométrico, cada equação representa uma reta em R^2:
  • L1colon x+y=2
  • L2colon x-y=0
  • L3colon 2x+y=2
As retas L1 e L2 intersectam-se em (1,1). Mas L3 passa por pontos como (tfrac23,tfrac23) (resolvendo x-y=0 e 2x+y=2) — ou seja, sua interseção com L2 é (tfrac23,tfrac23), diferente de (1,1). Logo não existe ponto que pertença simultaneamente a L1, L2 e L3.

Resposta

O sistema é inconsistente; não há (x,y) que satisfaça as três equações ao mesmo tempo.

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