Considere X1, X2, ldots, Xn uma amostra aleatória da variável aleatória X cuja distribuição de probabilidades depende apenas do parâmetro ignorado theta. Ainda, admita que E(X)=theta. Se theta=sumi=1^n ci Xi for um estimador para o parâmetro desconhecido theta, em que c1, c2, ldots, cn são constantes e sumi=1^n ci=1, então:
a) Verifique se theta é não viciado.
b) Determine Var(widehattheta) e EQM(widehattheta).

Passo 1

O enunciado diz que temos uma amostra aleatória X1,dots,Xn de uma variável X com E(X)=theta e variância Var(X)=sigma^2. Queremos estudar o estimador linear
widehattheta=sumi=1^nciXi,
onde c1+cdots+cn=1.
Conteúdos necessários:
  • Propriedade de linearidade da esperança.
  • Cálculo de variância de soma de variáveis independentes.
  • Definição de EQM (erro quadrático médio).

Passo 2

Calculemos a esperança de widehattheta. Pela linearidade da esperança e como E(Xi)=theta para todo i:
E(widehattheta) =El(sumi=1^nciXir) =sumi=1^nci,E(Xi) =sumi=1^nci,theta =thetasumi=1^nci =thetacdot1 =theta
Logo, widehattheta é não-viciado (unbiased), pois E(widehattheta)=theta.

Passo 3

Para a variância, usamos que as Xi são independentes e cada uma tem variância sigma^2. Assim
Var(widehattheta) =Varl(sumi=1^nciXir) =sumi=1^nci^2,Var(Xi) =sigma^2sumi=1^nci^2

Passo 4

O EQM (erro quadrático médio) de um estimador é
EQM(widehattheta) =El[(widehattheta-theta)^2r] =Var(widehattheta)+(Bias(widehattheta))^2
Como já vimos que o bias é zero, temos
EQM(widehattheta) =Var(widehattheta) =sigma^2sumi=1^nci^2

Resposta

a) widehattheta é não-viciado, pois E(widehattheta)=theta.
b)
Var(widehattheta)=sigma^2sumi=1^nci^2,
EQM(widehattheta)=sigma^2sumi=1^nci^2

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