Seja
um estimador de um parâmetro
, tal que Viés
.
a) Proponha um estimador não viesado para
que seja função de
e mostre que ele realmente é não viesado.
b) Sabendo que a variância de
é
, obtenha o EQM do estimador proposto.
c) O estimador proposto é consistente? Justifique sua resposta.
d) Se há informação de que
é superior a 10, você escolheria
ou o estimador proposto? Justifique sua resposta.
a) Proponha um estimador não viesado para
b) Sabendo que a variância de
c) O estimador proposto é consistente? Justifique sua resposta.
d) Se há informação de que
Passo 1
O enunciado nos diz que temos um estimador
de um parâmetro
com viés
Vamos usar o conceito de correção de viés (multiplicar por um fator que anula o desvio) para propor um estimador não viesado, depois calcular seu erro quadrático médio (EQM), verificar consistência e comparar os dois estimadores quando sabemos que
.
Passo 2
Para anular o viés, se define um estimador
e escolhe
tal que
. Como
basta tomar
Logo,
Passo 3
Mostrando que
é não viesado:
Portanto o viés de
é zero.
Passo 4
Como
é não viesado, seu EQM coincide com a variância:
Passo 5
Consistência de
: lembrando que consistência exige
quando
, temos
que tende a zero. Logo
é consistente.
Passo 6
Para decidir entre
e
quando sabemos que
, comparamos os EQMs:
EQM
versus
EQM .
Se é grande (por exemplo
), a componente de viés ao quadrado de
fica significativa e acaba tornando o EQM de
maior. Já
não tem viés e seu EQM cresce só como
. Portanto, com a informação
, fica preferível usar
, pois ele terá menor EQM.
EQM
versus
EQM
Se
Resposta
a)
b)
c) Sim, pois quando
.
d) Com , escolho
, pois seu EQM é menor do que o de
.
b)
c) Sim, pois
d) Com