Seja theta um estimador de um parâmetro theta, tal que Viés (theta)=-theta /(n-1).
a) Proponha um estimador não viesado para theta que seja função de theta e mostre que ele realmente é não viesado.
b) Sabendo que a variância de theta é theta /(n-1), obtenha o EQM do estimador proposto.
c) O estimador proposto é consistente? Justifique sua resposta.
d) Se há informação de que theta é superior a 10, você escolheria theta ou o estimador proposto? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado nos diz que temos um estimador theta de um parâmetro theta com viés
Viés(theta) = E[theta]-theta = -thetan-1 é
Vamos usar o conceito de correção de viés (multiplicar por um fator que anula o desvio) para propor um estimador não viesado, depois calcular seu erro quadrático médio (EQM), verificar consistência e comparar os dois estimadores quando sabemos que theta>10.

Passo 2

Para anular o viés, se define um estimador tildetheta=c,theta e escolhe c tal que E[tildetheta]=theta. Como
E[tildetheta] = c,E[theta] = cl(theta - thetan-1r) = c,thetan-2,n-1,,
basta tomar
c = n-1,n-2,
Logo,
tildetheta = n-1,n-2,,theta

Passo 3

Mostrando que tildetheta é não viesado:
E[tildetheta] = n-1,n-2,E[theta] = n-1,n-2,,thetan-2,n-1, = theta
Portanto o viés de tildetheta é zero.

Passo 4

Como é não viesado, seu EQM coincide com a variância:

Passo 5

Consistência de tildetheta: lembrando que consistência exige EQMto0 quando ntoinfty, temos
EQM(tildetheta) = theta,(n-1)(n-2)^2 sim thetanquando ntoinfty,
que tende a zero. Logo tildetheta é consistente.

Passo 6

Para decidir entre e quando sabemos que , comparamos os EQMs:
EQM
versus
EQM .
Se é grande (por exemplo ), a componente de viés ao quadrado de fica significativa e acaba tornando o EQM de maior. Já não tem viés e seu EQM cresce só como . Portanto, com a informação , fica preferível usar , pois ele terá menor EQM.

Resposta

a) tildetheta=n-1,n-2,,theta
b) EQM(tildetheta)=theta,(n-1)(n-2)^2
c) Sim, pois EQM(tildetheta)simtheta/nto0 quando ntoinfty.
d) Com theta>10, escolho tildetheta, pois seu EQM é menor do que o de theta.

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