Deseja-se estimar a média
de uma população, para tanto, foram sugeridos os seguintes estimadores:
Admita que na população a variância seja igual a
e que tenha sido coletada uma a.a. de tamanho n desta população.
a) Esses estimadores são viciados (viesados)? Caso algum deles seja viesado, determine o vício (viés).
b) Eles são consistentes?
c) Entre os estimadores não viciados, qual deles é mais eficiente?
d) Qual dos três é mais indicado se o objetivo de uma pesquisa é estimar a média populacional da variável de interesse? Justifique.
a) Esses estimadores são viciados (viesados)? Caso algum deles seja viesado, determine o vício (viés).
b) Eles são consistentes?
c) Entre os estimadores não viciados, qual deles é mais eficiente?
d) Qual dos três é mais indicado se o objetivo de uma pesquisa é estimar a média populacional da variável de interesse? Justifique.
Passo 1
O enunciado pede para avaliar três estimadores lineares da média populacional
(variância conhecida
), usando uma amostra aleatória simples de tamanho
:
Vamos verificar para cada um (a) o viés, (b) consistência, (c) eficiência entre os não viciados e (d) qual é o mais indicado.
Passo 2
(a) Viés de cada estimador.
– Para :
– Para
– Para
:
– Para
:
Passo 3
(b) Consistência. Um estimador
é consistente se
, o que costuma requerer viés tendendo a zero e variância tendendo a zero quando
.
– e
usam apenas observações isoladas (
e
), logo suas variâncias são constantes:
–
não tendendo a zero. Então não são consistentes.
– Para :
– Para
e o viés
. Logo
é consistente.
Passo 4
(c) Eficiência entre os não viciados (
). Comparamos variâncias:
Como
, o mais eficiente (menor variância) é
.
Passo 5
(d) Qual o mais indicado para estimar
?
-
e são não viciados mas não consistentes (variância não vai a zero). -
é consistente (variância e viés tendem a zero).
Em termos de precisão assintótica e erro quadrático médio (MSE),domina: seu MSE
enquanto
mantêm MSE constante. Portanto,
é o mais indicado para estimar
.
Resposta
a)
e
são não viciados;
tem viés
.
b) Somente é consistente.
c) Entre os não viciados, é mais eficiente.
d) O mais indicado é , pois é consistente e tem erro médio quadrático que tende a zero.
b) Somente
c) Entre os não viciados,
d) O mais indicado é