Deseja-se estimar a média mu de uma população, para tanto, foram sugeridos os seguintes estimadores:
& Estimador 1=X1 & Estimador 2=14 X1+34 X2 & Estimador 3=(n-1)n barX
Admita que na população a variância seja igual a sigma^2 e que tenha sido coletada uma a.a. de tamanho n desta população.
a) Esses estimadores são viciados (viesados)? Caso algum deles seja viesado, determine o vício (viés).
b) Eles são consistentes?
c) Entre os estimadores não viciados, qual deles é mais eficiente?
d) Qual dos três é mais indicado se o objetivo de uma pesquisa é estimar a média populacional da variável de interesse? Justifique.

Passo 1

O enunciado pede para avaliar três estimadores lineares da média populacional mu (variância conhecida sigma^2), usando uma amostra aleatória simples de tamanho n:
widehatmu1 = X1, widehatmu2 = tfrac14X1 + tfrac34X2, widehatmu3 = tfracn-1n,bar X
Vamos verificar para cada um (a) o viés, (b) consistência, (c) eficiência entre os não viciados e (d) qual é o mais indicado.

Passo 2

(a) Viés de cada estimador.
– Para widehatmu1:
E[widehatmu1] = E[X1] = mu Longrightarrow viés = E[widehatmu1]-mu = 0 é
– Para widehatmu2:
E[widehatmu2] = tfrac14E[X1]+tfrac34E[X2] = tfrac14mu + tfrac34mu = mu Longrightarrow viés = 0 é
– Para widehatmu3:
E[widehatmu3] = tfracn-1n,E[bar X] = tfracn-1n,mu Longrightarrow viés = E[widehatmu3]-mu = -munneq0 é

Passo 3

(b) Consistência. Um estimador é consistente se , o que costuma requerer viés tendendo a zero e variância tendendo a zero quando .
e usam apenas observações isoladas ( e ), logo suas variâncias são constantes:
não tendendo a zero. Então não são consistentes.
– Para :
e o viés . Logo é consistente.

Passo 4

(c) Eficiência entre os não viciados ( ). Comparamos variâncias:
Como , o mais eficiente (menor variância) é .

Passo 5

(d) Qual o mais indicado para estimar ?
  • e são não viciados mas não consistentes (variância não vai a zero).
  • é consistente (variância e viés tendem a zero).
    Em termos de precisão assintótica e erro quadrático médio (MSE), domina: seu MSE
enquanto mantêm MSE constante. Portanto, é o mais indicado para estimar .

Resposta

a) widehatmu1 e widehatmu2 são não viciados; widehatmu3 tem viés ,-mu/n.
b) Somente widehatmu3 é consistente.
c) Entre os não viciados, widehatmu2 é mais eficiente.
d) O mais indicado é widehatmu3, pois é consistente e tem erro médio quadrático que tende a zero.

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