Seja X1, X2, X3, X4 e X5 uma a.a.s. da v.a. X com E(X)=mu e Var(X)=sigma^2. Considere, ainda, mu1=0,10 X1+0,20 X2+0,40 X3+0,20 X4+0,10 X5 e mu2=15 sumi=1^5 Xi
dois possíveis estimadores para mu.
a) Verifique se esses estimadores são não viesados.
b) É possível afirmar que um deles é mais eficiente que o outro? Justifique a sua resposta.

Passo 1

O enunciado apresenta uma amostra aleatória simples X1,dots,X5 de uma v.a. X com ,E(X)=mu e Var(X)=sigma^2. São dados dois estimadores de mu:
mu1=0,10,X1+0,20,X2+0,40,X3+0,20,X4+0,10,X5,
mu2=15sumi=1^5Xi
Precisamos (a) verificar se cada estimador é não viesado e (b) comparar as variâncias para decidir qual é mais eficiente.

Passo 2

Para mostrar que um estimador hatmu é não viesado, calculamos E(hatmu) e verificamos se isso dá exatamente mu.
(a1)
E(mu1) =0,10,E(X1)+0,20,E(X2)+0,40,E(X3)+0,20,E(X4)+0,10,E(X5)
Como todos E(Xi)=mu,
E(mu1) =(0,10+0,20+0,40+0,20+0,10),mu =1,mu =mu
Logo hatmu1 é não viesado.
(a2)
E(mu2) =El(15sumi=1^5Xir) =15sumi=1^5E(Xi) =15cdot5,mu =mu
Portanto hatmu2 também é não viesado.

Passo 3

Agora comparamos a eficiência via variâncias, lembrando que para amostras independentes se soma a variância dos termos ponderados:
(b1)
Var(mu1) =sumi=1^5wi^2,Var(Xi) =sigma^2l(0,10^2+0,20^2+0,40^2+0,20^2+0,10^2r)
= sigma^2(0,01+0,04+0,16+0,04+0,01) =0,26,sigma^2
(b2)
Var(mu2) =Varl(15sumi=1^5Xir) =15^2sumi=1^5Var(Xi) =125cdot5,sigma^2 =0,20,sigma^2

Passo 4

Comparemos 0,26,sigma^2 e 0,20,sigma^2. Como
0,20,sigma^2 < 0,26,sigma^2,
temos Var(mu2)<Var(mu1). Logo, entre os dois estimadores não viesados, mu2 é mais eficiente (menor variância).

Resposta

(a) Ambos são não viesados.
(b) mu2 é mais eficiente que mu1, pois tem variância ,0,20,sigma^2 contra ,0,26,sigma^2 de mu1.

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