Considere y=0,999999 \ldots. Expresse y em termos de uma série geométrica. Essa série é convergente? Se sim, calcule sua soma.

Passo 1

O enunciado dá y=0,999999\ldots (ou seja, um decimal com infinitos noves após a vírgula) e pede três coisas:
  • Expressar y em termos de uma série geométrica.
  • Dizer se essa série é convergente.
  • Se for convergente, calcular a soma da série.
Informações relevantes que o enunciado nos dá ou que são óbvias a partir dele:
  • A escrita 0,999999\ldots significa a soma infinita dos blocos decimais 0{,}9, 0{,}09, 0{,}009, \ldots.
  • Cada termo desses pode ser escrito como uma potência de 10 no denominador (por exemplo 0{,}09=\dfrac{9}{100}=\dfrac{9}{10^2}).
  • Precisaremos reconhecer uma sequência de termos que formam uma progressão geométrica e aplicar a propriedade de soma de séries geométricas.

Passo 2

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Definição e soma finita:
  • Uma progressão geométrica de termos tem a forma a, ar, ar^2, ar^3,\ldots onde:
    • a é o primeiro termo (um número real),
    • r é a razão (um número real que multiplica cada termo para obter o próximo).
  • A soma dos primeiros N termos dessa progressão é dada por:
S_N = a + ar + ar^2 + \cdots + ar^{N-1}.
Para obter uma fórmula fechada para S_N faça o seguinte (demonstração clássica):
S_N = a(1 + r + r^2 + \cdots + r^{N-1}).
Multiplicando ambos os lados por r:
rS_N = a(r + r^2 + \cdots + r^{N}).
Subtraindo as duas equações:
S_N - rS_N = a(1 - r^{N}),
ou seja
S_N(1-r) = a(1-r^{N}).
Portanto, quando r \neq 1,
\boxed{S_N = \dfrac{a(1-r^{N})}{1-r}.}
Soma infinita (quando converge):
  • A série infinita correspondente é \displaystyle S=\sum_{n=0}^{\infty} ar^{n} (índice a partir de 0 neste formato).
  • Para que o limite \lim_{N\to\infty}S_N exista finito, é necessário que r^{N}\to 0 quando N\to\infty.
  • Isso acontece exatamente quando |r|<1. Nesse caso \lim_{N\to\infty} r^{N}=0 e, tomando limite da fórmula de S_N,
\boxed{S=\sum_{n=0}^{\infty}ar^{n}=\dfrac{a}{1-r}\quad\text{se e somente se}\quad |r|<1.}
  • Se |r|\ge 1, a série geométrica não converge (ou diverge para infinito ou oscila).
Exemplo rápido para fixar: a série \displaystyle 1+\tfrac12+\tfrac14+\tfrac18+\cdots é geométrica com a=1 e r=\tfrac12. Como |r|=\tfrac12<1, ela converge e a soma é \dfrac{1}{1-\tfrac12}=2.

Passo 3

Agora escrevendo y=0,999999\ldots como soma dos termos decimais:
  • O primeiro termo é 0{,}9=\dfrac{9}{10}.
  • O segundo termo é 0{,}09=\dfrac{9}{10^2}.
  • O terceiro é 0{,}009=\dfrac{9}{10^3}.
  • E assim por diante.
Portanto podemos escrever
\boxed{y=\dfrac{9}{10}+\dfrac{9}{10^2}+\dfrac{9}{10^3}+\cdots}
em notação de série:
\boxed{y=\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{9}{10^{n}}=9\sum_{n=1}^{\infty}\left(\dfrac{1}{10}\right)^{n}.}
Aqui identificamos a forma geométrica com primeiro termo a=\dfrac{9}{10} e razão r=\dfrac{1}{10}.

Passo 4

Verificar convergência usando o critério da série geométrica:
  • A razão é r=\dfrac{1}{10}.
  • Como \left|r\right|=\dfrac{1}{10}<1, a série geométrica é convergente (pela condição |r|<1 vista no Passo 2).

Passo 5

Calcular a soma usando a fórmula da série geométrica infinita.
  • Usando a fórmula da soma infinita em que os termos começam em n=1, pode-se notar que
\sum_{n=1}^{\infty}ar^{n} = ar\sum_{n=0}^{\infty}r^{n} = ar\cdot\dfrac{1}{1-r},
mas mais direto, com a=\dfrac{9}{10} e r=\dfrac{1}{10} (já escritos para a série a partir de n=1 como fizemos),
y = 9\sum_{n=1}^{\infty}\left(\dfrac{1}{10}\right)^{n}.
Aplicando a fórmula \sum_{n=1}^{\infty}r^{n}=\dfrac{r}{1-r} (válida para |r|<1):
y = 9\cdot\dfrac{\tfrac{1}{10}}{1-\tfrac{1}{10}}.
Agora faço as contas passo a passo:
1-\dfrac{1}{10}=\dfrac{9}{10},
então
y = 9\cdot\dfrac{\tfrac{1}{10}}{\tfrac{9}{10}} = 9\cdot\dfrac{1}{10}\cdot\dfrac{10}{9}.
Os fatores \dfrac{1}{10} e 10 se cancelam, e 9 com \dfrac{1}{9} também se cancelam, restando
y=1.

Resposta

y=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{9}{10^{n}}=9\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\left(\dfrac{1}{10}\right)^{n}
Sim, a série é convergente (porque |r|=\tfrac{1}{10}<1)
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