Considere
. Expresse
em termos de uma série geométrica. Essa série é convergente? Se sim, calcule sua soma.
Passo 1
O enunciado dá
(ou seja, um decimal com infinitos noves após a vírgula) e pede três coisas:
- Expressar
em termos de uma série geométrica. - Dizer se essa série é convergente.
- Se for convergente, calcular a soma da série.
Informações relevantes que o enunciado nos dá ou que são óbvias a partir dele:
- A escrita
significa a soma infinita dos blocos decimais , , , . - Cada termo desses pode ser escrito como uma potência de
no denominador (por exemplo ). - Precisaremos reconhecer uma sequência de termos que formam uma progressão geométrica e aplicar a propriedade de soma de séries geométricas.
Passo 2
Aula rápida sobre séries geométricas (passo-a-passo, sem pular etapas).
Definição e soma finita:
- Uma progressão geométrica de termos tem a forma
onde: -
é o primeiro termo (um número real), -
é a razão (um número real que multiplica cada termo para obter o próximo).
-
- A soma dos primeiros
termos dessa progressão é dada por:
Para obter uma fórmula fechada para
faça o seguinte (demonstração clássica):
Multiplicando ambos os lados por
:
Subtraindo as duas equações:
ou seja
Portanto, quando
,
Soma infinita (quando converge):
- A série infinita correspondente é
(índice a partir de neste formato). - Para que o limite
exista finito, é necessário que quando . - Isso acontece exatamente quando
. Nesse caso e, tomando limite da fórmula de ,
- Se
, a série geométrica não converge (ou diverge para infinito ou oscila).
Exemplo rápido para fixar: a série
é geométrica com
e
. Como
, ela converge e a soma é
.
Passo 3
Agora escrevendo
como soma dos termos decimais:
- O primeiro termo é
. - O segundo termo é
. - O terceiro é
. - E assim por diante.
Portanto podemos escrever
em notação de série:
Aqui identificamos a forma geométrica com primeiro termo
e razão
.
Passo 4
Verificar convergência usando o critério da série geométrica:
- A razão é
. - Como
, a série geométrica é convergente (pela condição vista no Passo 2).
Passo 5
Calcular a soma usando a fórmula da série geométrica infinita.
- Usando a fórmula da soma infinita em que os termos começam em
, pode-se notar que
mas mais direto, com
e
(já escritos para a série a partir de
como fizemos),
Aplicando a fórmula
(válida para
):
Agora faço as contas passo a passo:
então
Os fatores
e
se cancelam, e
com
também se cancelam, restando
Resposta
Sim, a série é convergente (porque