1. Resolva o seguinte sistema pelo método de Gauss-Jordan:
\left\{\begin{aligned} x+y-z & =3 \\\\ 2 x+3 y-z & =1 \\\\ -x+2 y+z & =0 \\\\ -3 x-5 y+z & =1 \end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema
\left\{\begin{aligned} x+y-z & =3 \\\\ 2 x+3 y-z & =1 \\\\ -x+2 y+z & =0 \\\\ -3 x-5 y+z & =1 \end{aligned}\right.
Lista clara do que temos:
  • Variáveis desconhecidas: x,\;y,\;z.
  • Quatro equações lineares envolvendo essas três incógnitas (sistema potencialmente sobredeterminado).
  • O enunciado pede explicitamente para usar o método de Gauss-Jordan (vamos seguir isso passo a passo).

Passo 2

Primeira ideia prática: representar o sistema como matriz aumentada. Isso facilita aplicar operações elementares sobre as linhas para levar a uma forma em que as soluções aparecem diretamente.
A matriz aumentada inicial é
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & -1 & 3\\[4pt] 2 & 3 & -1 & 1\\[4pt] -1 & 2 & 1 & 0\\[4pt] -3 & -5 & 1 & 1 \end{array}\right].
Breve explicação do método (Gauss-Jordan) e das operações que usaremos:
  • Objetivo: transformar a matriz aumentada numa matriz na forma escalonada reduzida por linha (reduced row-echelon form), onde teremos pivôs 1 e zeros em todas as outras posições da coluna do pivô. Assim lemos a solução diretamente.
  • Operações elementares permitidas (não mudam o conjunto solução):
    1. trocar duas linhas: R_i \leftrightarrow R_j.
    2. multiplicar uma linha por um escalar não nulo: R_i \leftarrow c\,R_i com c\neq 0.
    3. somar a um multiplo de uma linha outra linha: R_i \leftarrow R_i + c\,R_j.
  • Sempre que eu aplicar uma operação, vou explicar por que a escolhi.]

Passo 3

Usar a primeira linha como pivô na coluna 1 (o pivô já é 1, conveniente). Eliminar entradas abaixo do pivô para criar zeros na coluna 1:
Aplicar
R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1,\qquad R_3 \leftarrow R_3 + R_1,\qquad R_4 \leftarrow R_4 + 3R_1.
Fazendo as contas linha a linha:
  • Para R_2: [2,\,3,\,-1\,|\,1] - 2\cdot[1,\,1,\,-1\,|\,3] = [0,\,1,\,1\,|\,-5].
  • Para R_3: [-1,\,2,\,1\,|\,0] + [1,\,1,\,-1\,|\,3] = [0,\,3,\,0\,|\,3].
  • Para R_4: [-3,\,-5,\,1\,|\,1] + 3\cdot[1,\,1,\,-1\,|\,3] = [0,\,-2,\,-2\,|\,10].
Matriz resultante:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & -1 & 3\\[4pt] 0 & 1 & 1 & -5\\[4pt] 0 & 3 & 0 & 3\\[4pt] 0 & -2 & -2 & 10 \end{array}\right].]

Passo 4

Agora usamos a segunda linha R_2 como pivô para a coluna 2 (o pivô é 1, ótimo). O objetivo: fazer zeros em todas as outras entradas da coluna 2 (acima e abaixo).
Aplicar
R_1 \leftarrow R_1 - R_2,\qquad R_3 \leftarrow R_3 - 3R_2,\qquad R_4 \leftarrow R_4 + 2R_2.
Calcular cada uma:
  • R_1 - R_2: [1,\,1,\,-1\,|\,3] - [0,\,1,\,1\,|\,-5] = [1,\,0,\,-2\,|\,8].
  • R_3 - 3R_2: [0,\,3,\,0\,|\,3] - 3\cdot[0,\,1,\,1\,|\,-5] = [0,\,0,\,-3\,|\,18].
  • R_4 + 2R_2: [0,\,-2,\,-2\,|\,10] + 2\cdot[0,\,1,\,1\,|\,-5] = [0,\,0,\,0\,|\,0].
Matriz agora:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & -2 & 8\\[4pt] 0 & 1 & 1 & -5\\[4pt] 0 & 0 & -3 & 18\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right].
Observação importante (didática): a quarta linha virou [0\;0\;0\;|\;0]. Isso significa que a quarta equação original é combinação linear das outras — não traz restrição adicional. Isso não implica inconsistência (que ocorreria se tivéssemos [0\;0\;0\;|\;c] com c\neq 0); aqui indica dependência entre equações.]

Passo 5

Agora tratar a terceira linha: o pivô atual em R_3 é -3 na coluna 3. Para chegar à forma reduzida queremos pivô igual a 1. Multiplicamos R_3 por -\tfrac{1}{3}:
Aplicar
R_3 \leftarrow -\tfrac{1}{3}R_3.
Cálculo: [0,\,0,\,-3\,|\,18]\cdot(-\tfrac{1}{3}) = [0,\,0,\,1\,|\,-6].
Matriz:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & -2 & 8\\[4pt] 0 & 1 & 1 & -5\\[4pt] 0 & 0 & 1 & -6\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right].]

Passo 6

Agora que R_3 tem pivô 1 na coluna 3, devemos zerar todas as outras entradas na coluna 3 (acima do pivô) para obter a forma reduzida por linhas. Aplicar:
R_1 \leftarrow R_1 + 2R_3,\qquad R_2 \leftarrow R_2 - R_3.
Cálculos:
  • R_1 + 2R_3: [1,\,0,\,-2\,|\,8] + 2\cdot[0,\,0,\,1\,|\,-6] = [1,\,0,\,0\,|\,-4].
  • R_2 - R_3: [0,\,1,\,1\,|\,-5] - [0,\,0,\,1\,|\,-6] = [0,\,1,\,0\,|\,1].
Matriz final em forma reduzida:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 0 & -4\\[4pt] 0 & 1 & 0 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 1 & -6\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right].]

Passo 7

Interpretação final da matriz reduzida por linha: as três primeiras linhas dão diretamente os valores das variáveis (cada linha corresponde a uma equação do tipo “variável = valor”):
  • Da primeira linha: x = -4.
  • Da segunda linha: y = 1.
  • Da terceira linha: z = -6.
A quarta linha é 0=0, sem informação nova. Como obtivemos pivôs em todas as três colunas de variáveis, o sistema tem posto igual a 3 (número de variáveis), logo há solução única para (x,y,z).

Passo 8

Verificação rápida (substituir na equação original para checar; faço uma das equações como checagem):
Usando (x,y,z)=(-4,\,1,\,-6) na primeira equação:
x+y-z = -4 + 1 - (-6) = -3 + 6 = 3,
confere com o lado direito 3. Pode-se checar nas demais e todas batem (opcional). Isso dá confiança que os cálculos foram feitos corretamente.

Resposta

x=-4
y=1
z=-6

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