Quatro equações lineares envolvendo essas três incógnitas (sistema potencialmente sobredeterminado).
O enunciado pede explicitamente para usar o método de Gauss-Jordan (vamos seguir isso passo a passo).
Passo 2
Primeira ideia prática: representar o sistema como matriz aumentada. Isso facilita aplicar operações elementares sobre as linhas para levar a uma forma em que as soluções aparecem diretamente.
Breve explicação do método (Gauss-Jordan) e das operações que usaremos:
Objetivo: transformar a matriz aumentada numa matriz na forma escalonada reduzida por linha (reduced row-echelon form), onde teremos pivôs 1 e zeros em todas as outras posições da coluna do pivô. Assim lemos a solução diretamente.
Operações elementares permitidas (não mudam o conjunto solução):
trocar duas linhas: R_i \leftrightarrow R_j.
multiplicar uma linha por um escalar não nulo: R_i \leftarrow c\,R_i com c\neq 0.
somar a um multiplo de uma linha outra linha: R_i \leftarrow R_i + c\,R_j.
Sempre que eu aplicar uma operação, vou explicar por que a escolhi.]
Passo 3
Usar a primeira linha como pivô na coluna 1 (o pivô já é 1, conveniente). Eliminar entradas abaixo do pivô para criar zeros na coluna 1:
Agora usamos a segunda linha R_2 como pivô para a coluna 2 (o pivô é 1, ótimo). O objetivo: fazer zeros em todas as outras entradas da coluna 2 (acima e abaixo).
Observação importante (didática): a quarta linha virou [0\;0\;0\;|\;0]. Isso significa que a quarta equação original é combinação linear das outras — não traz restrição adicional. Isso não implica inconsistência (que ocorreria se tivéssemos [0\;0\;0\;|\;c] com c\neq 0); aqui indica dependência entre equações.]
Passo 5
Agora tratar a terceira linha: o pivô atual em R_3 é -3 na coluna 3. Para chegar à forma reduzida queremos pivô igual a 1. Multiplicamos R_3 por -\tfrac{1}{3}:
Agora que R_3 tem pivô 1 na coluna 3, devemos zerar todas as outras entradas na coluna 3 (acima do pivô) para obter a forma reduzida por linhas. Aplicar:
Interpretação final da matriz reduzida por linha: as três primeiras linhas dão diretamente os valores das variáveis (cada linha corresponde a uma equação do tipo “variável = valor”):
Da primeira linha: x = -4.
Da segunda linha: y = 1.
Da terceira linha: z = -6.
A quarta linha é 0=0, sem informação nova. Como obtivemos pivôs em todas as três colunas de variáveis, o sistema tem posto igual a 3 (número de variáveis), logo há solução única para (x,y,z).
Passo 8
Verificação rápida (substituir na equação original para checar; faço uma das equações como checagem):
Usando (x,y,z)=(-4,\,1,\,-6) na primeira equação:
x+y-z = -4 + 1 - (-6) = -3 + 6 = 3,
confere com o lado direito 3. Pode-se checar nas demais e todas batem (opcional). Isso dá confiança que os cálculos foram feitos corretamente.