Encontre os valores de x para os quais a série converge.
Passo 1
O enunciado nos dá a série
e pede: determinar para quais valores de
a série converge. Vou assumir que
é um número real (se fosse complexo, a análise muda um pouco — mas a pergunta usual em cálculo exige
). As informações relevantes são:
- O termo geral é
. - Preciso encontrar o conjunto de
tais que a série infinita converge.
Passo 2
Identificar o tipo de série. Repare que a série tem a forma
com
. Essa é a série geométrica (começando em
) com razão
. Vou usar as propriedades conhecidas da série geométrica para decidir convergência.
Passo 3
Lembrando a teoria (aula rápida): a série geométrica
converge se, e só se,
. Quando
, a soma é
Explicando por que: os somatórios parciais são
; se
então
quando
, logo
. Se
, ou os termos não tendem a zero (caso
) ou são constantes (
), e a série diverge.
Passo 4
Aplicar a condição ao nosso
. Aqui
. A condição de convergência é
Para
temos
, logo
. Portanto a condição fica
Tomando logaritmo natural (função
é estritamente crescente),
Logo a condição de convergência é
.
Passo 5
Verificação das fronteiras e casos:
- Se
, então e a série é , que diverge (soma dos termos não vai a zero). - Se
, então ; os termos crescem e não tendem a zero, portanto a série diverge. - Se
, então e a série converge (por ser geométrica com ).
Passo 6
Soma quando converge (útil para a prova): se
então a série converge e sua soma é
Exemplo numérico para fixar: se
, a soma é
.