Encontre os valores de x para os quais a série converge.
\sum_{n=1}^{\infty}\left(e^{x}\right)^{n}

Passo 1

O enunciado nos dá a série
\sum_{n=1}^{\infty}\left(e^{x}\right)^{n}
e pede: determinar para quais valores de x a série converge. Vou assumir que x é um número real (se fosse complexo, a análise muda um pouco — mas a pergunta usual em cálculo exige x\in\mathbb{R}). As informações relevantes são:
  • O termo geral é \left(e^{x}\right)^{n}=e^{nx}.
  • Preciso encontrar o conjunto de x\in\mathbb{R} tais que a série infinita converge.

Passo 2

Identificar o tipo de série. Repare que a série tem a forma
\sum_{n=1}^{\infty} r^{n}
com r=e^{x}. Essa é a série geométrica (começando em n=1) com razão r. Vou usar as propriedades conhecidas da série geométrica para decidir convergência.

Passo 3

Lembrando a teoria (aula rápida): a série geométrica
\sum_{n=1}^{\infty} r^{n}
converge se, e só se, |r|<1. Quando |r|<1, a soma é
\sum_{n=1}^{\infty} r^{n}=\frac{r}{1-r}.
Explicando por que: os somatórios parciais são S_N=r+\cdots+r^N=r\frac{1-r^{N}}{1-r}; se |r|<1 então r^{N}\to0 quando N\to\infty, logo S_N\to r/(1-r). Se |r|\ge1, ou os termos não tendem a zero (caso |r|>1) ou são constantes ( |r|=1), e a série diverge.

Passo 4

Aplicar a condição ao nosso r. Aqui r=e^{x}. A condição de convergência é
|e^{x}|<1.
Para x\in\mathbb{R} temos e^{x}>0, logo |e^{x}|=e^{x}. Portanto a condição fica
e^{x}<1.
Tomando logaritmo natural (função \ln é estritamente crescente),
x<\ln(1)=0.
Logo a condição de convergência é x<0.

Passo 5

Verificação das fronteiras e casos:
  • Se x=0, então r=e^{0}=1 e a série é \sum_{n=1}^{\infty}1, que diverge (soma dos termos não vai a zero).
  • Se x>0, então r=e^{x}>1; os termos e^{nx} crescem e não tendem a zero, portanto a série diverge.
  • Se x<0, então 0<e^{x}<1 e a série converge (por ser geométrica com |r|<1).

Passo 6

Soma quando converge (útil para a prova): se x<0 então a série converge e sua soma é
\sum_{n=1}^{\infty}e^{nx}=\frac{e^{x}}{1-e^{x}}\qquad (x<0).
Exemplo numérico para fixar: se x=-1, a soma é \dfrac{e^{-1}}{1-e^{-1}}=\dfrac{1}{e-1}.

Resposta

x<0

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