Considere y=f(x), onde f(x)=\quad f(x)=\frac{2 x^{2}}{9-x^{2}}
Calcule as assíntotas verticais e horizontais, se houver;
Calcule a simetria (mostre que a função é par ou ímpar);
Calcule a primeira;
Calcule a segunda derivada;
Faça o estudo de sinal;
Encontre os pontos críticos e de inflexão (onde a função é crescente ou decrescente, onde a função tem a concavidade para baixo ou para cima);
E esboce o gráfico de \mathrm{y}=\mathrm{f}(\mathrm{x}).

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\frac{2x^{2}}{9-x^{2}}
e pede (lista de tarefas):
  • Calcular as assíntotas verticais e horizontais, se existirem.
  • Mostrar a simetria (paridade) da função.
  • Calcular a primeira derivada f'(x).
  • Calcular a segunda derivada f''(x).
  • Fazer o estudo de sinal de f(x).
  • Encontrar os pontos críticos e de inflexão e determinar onde a função é crescente/decrescente e onde é côncava para cima/para baixo.
  • Esboçar (descrever) o gráfico de y=f(x).
Informações dadas e observações imediatas:
  • O domínio é formado por todos os x tais que o denominador não se anula, ou seja,
9-x^{2}\neq0\quad\Rightarrow\quad x\neq\pm3.
Portanto o domínio é \mathbb{R}\setminus\{\,-3,3\,\}.

Passo 2

Assíntotas verticais: localizar pontos do domínio onde a função diverge, isto é limites unilaterais em x\to3^\pm e x\to-3^\pm.
Fatorando o denominador:
9-x^{2}=(3-x)(3+x).
Para x\to3^{-}: 3-x\to0^{+} e 3+x\to6>0, então 9-x^{2}\to0^{+}. O numerador 2x^{2}\to18>0. Logo
\lim_{x\to3^{-}}f(x)=+\infty.
Para x\to3^{+}: 3-x\to0^{-} e 3+x>0, então 9-x^{2}\to0^{-} e o numerador positivo implica
\lim_{x\to3^{+}}f(x)=-\infty.
Para x\to-3^{-}: 3+x\to0^{-} e 3-x>0, então 9-x^{2}\to0^{-} e
\lim_{x\to-3^{-}}f(x)=-\infty.
Para x\to-3^{+}: 3+x\to0^{+} e 3-x>0, então 9-x^{2}\to0^{+} e
\lim_{x\to-3^{+}}f(x)=+\infty.
Conclusão: há assíntotas verticais em x=3 e x=-3.

Passo 3

Assíntotas horizontais: calcular \lim_{x\to\pm\infty}f(x). Como numerador e denominador têm mesmo grau (grau 2), a assíntota horizontal é a razão dos coeficientes dos termos de maior grau. Escrevendo
f(x)=\frac{2x^{2}}{9-x^{2}}=\frac{2x^{2}}{-x^{2}+9}=\frac{2}{-1+9/x^{2}},
temos ao ir para infinito 9/x^{2}\to0, logo
\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=\frac{2}{-1}=-2.
Conclusão: existe assíntota horizontal y=-2.

Passo 4

Simetria (paridade): comparar f(-x) com f(x).
f(-x)=\frac{2(-x)^{2}}{9-(-x)^{2}}=\frac{2x^{2}}{9-x^{2}}=f(x).
Como f(-x)=f(x) para todo x do domínio, a função é par (simétrica em relação ao eixo y).

Passo 5

Cálculo da primeira derivada usando a regra do quociente. Seja u(x)=2x^{2} e v(x)=9-x^{2}. Então u'(x)=4x e v'(x)=-2x. A regra do quociente dá
f'(x)=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}=\frac{4x(9-x^{2})-2x^{2}(-2x)}{(9-x^{2})^{2}}.
Calcular o numerador:
4x(9-x^{2})-2x^{2}(-2x)=36x-4x^{3}+4x^{3}=36x.
Portanto
\boxed{f'(x)=\frac{36x}{(9-x^{2})^{2}}.}

Passo 6

Pontos críticos e monotonicidade: pontos críticos são onde f'(x)=0 ou f' indefinida (fora do domínio).
  • f'(x)=0 quando o numerador 36x=0\Rightarrow x=0. O ponto x=0 pertence ao domínio.
  • f'(x) é indefinida em x=\pm3 (já excluídos do domínio).
Estudo do sinal de f'(x): note que o denominador (9-x^{2})^{2} é sempre positivo para todo x\neq\pm3. Assim o sinal de f'(x) é o mesmo do numerador 36x. Logo:
  • Para x<0: f'(x)<0 (decrescente).
  • Para x>0: f'(x)>0 (crescente).
Dividindo pelos intervalos do domínio:
  • Em (-\infty,-3): x<0\Rightarrow f'<0 (decrescente).
  • Em (-3,0): x<0\Rightarrow f'<0 (decrescente).
  • Em (0,3): x>0\Rightarrow f'>0 (crescente).
  • Em (3,\infty): x>0\Rightarrow f'>0 (crescente).
Portanto x=0 é um ponto crítico onde f' muda de negativo para positivo, caracterizando um mínimo local em x=0. O valor é
f(0)=\frac{2\cdot0^{2}}{9-0^{2}}=0,
logo mínimo local em (0,0). Pela paridade, é óbvio que é simétrico (mínimo em 0 único).

Passo 7

Cálculo da segunda derivada. Partimos de f'(x)=36x(9-x^{2})^{-2}. Usando produto e cadeia:
f''(x)=36(9-x^{2})^{-2}+36x\cdot\left(-2\right)(9-x^{2})^{-3}\cdot(-2x).
No segundo termo a derivada de (9-x^{2})^{-2} é -2(9-x^{2})^{-3}\cdot(-2x)=4x(9-x^{2})^{-3}. Assim
f''(x)=\frac{36}{(9-x^{2})^{2}}+\frac{144x^{2}}{(9-x^{2})^{3}}.
Colocando por denominador comum (9-x^{2})^{3}:
f''(x)=\frac{36(9-x^{2})+144x^{2}}{(9-x^{2})^{3}}=\frac{324-36x^{2}+144x^{2}}{(9-x^{2})^{3}}=\frac{324+108x^{2}}{(9-x^{2})^{3}}.
Fatorando:
\boxed{f''(x)=\frac{108(3+x^{2})}{(9-x^{2})^{3}}.}

Passo 8

Concavidade e pontos de inflexão: analisar o sinal de f''(x).
  • O numerador 108(3+x^{2}) é sempre positivo para todo x.
  • O sinal de f''(x) depende, portanto, do sinal de (9-x^{2})^{3}, que tem o mesmo sinal de 9-x^{2}.
Logo:
  • Se |x|<3 então 9-x^{2}>0\Rightarrow(9-x^{2})^{3}>0\Rightarrow f''(x)>0. Portanto f é côncava para cima em (-3,3) (exceto os pontos removidos? lembrar que 0 está incluído).
  • Se |x|>3 então 9-x^{2}<0\Rightarrow(9-x^{2})^{3}<0\Rightarrow f''(x)<0. Portanto f é côncava para baixo em (-\infty,-3) e em (3,\infty).
Pontos de inflexão: são pontos do domínio onde f'' muda de sinal e idealmente f''=0 (mas a mudança de sinal é o que conta). Aqui f''(x) nunca é zero porque 3+x^{2}>0 para todo x. A mudança de concavidade ocorre em x=\pm3, porém esses pontos NÃO pertencem ao domínio (são assíntotas verticais). Portanto não há pontos de inflexão no domínio — não existe x no domínio com f''(x)=0 e mudança de concavidade num ponto do domínio. Conclusão: não há pontos de inflexão finitos pertencentes ao gráfico.

Passo 9

Estudo de sinal de f(x) (onde f é positiva, negativa ou zero):
Zeros de f: resolver f(x)=0\Rightarrow numerador 2x^{2}=0\Rightarrow x=0. Assim f(0)=0 é o único zero.
Sinal (saber que 2x^{2}\ge0 e só é zero em x=0):
  • Para |x|<3 (intervalo (-3,3)\setminus\{0\}): denominador 9-x^{2}>0, numerador >0 (exceto em 0), então f(x)>0.
  • Para |x|>3: denominador 9-x^{2}<0, numerador >0, então f(x)<0.
Portanto:
  • f(x)>0 em (-3,0)\cup(0,3).
  • f(0)=0.
  • f(x)<0 em (-\infty,-3)\cup(3,\infty).

Passo 10

Resumo dos pontos críticos, máximos/mínimos, monotonicidade e concavidade:
  • Domínio: \mathbb{R}\setminus\{\,-3,3\,\}.
  • Assíntotas verticais: x=-3 e x=3.
  • Assíntota horizontal: y=-2.
  • Paridade: f é par.
  • Derivadas:
f'(x)=\frac{36x}{(9-x^{2})^{2}},\qquad f''(x)=\frac{108(3+x^{2})}{(9-x^{2})^{3}}.
  • Pontos críticos no domínio: x=0 (único), com f(0)=0. Como f' passa de negativo para positivo em 0, x=0 é um mínimo local (na verdade global no intervalo central entre as assíntotas, mas em sentido global a função tem limite -2 no infinito, então comparar nível: f(0)=0>-2, mas é o único mínimo local).
  • Monotonicidade por intervalos:
    • Decrescente em (-\infty,-3) e em (-3,0).
    • Crescente em (0,3) e em (3,\infty).
  • Concavidade:
    • Côncava para baixo em (-\infty,-3) e (3,\infty).
    • Côncava para cima em (-3,3) (todo intervalo entre as assíntotas).
  • Pontos de inflexão: nenhum no domínio (a mudança de concavidade ocorre nas assíntotas x=\pm3, que não pertencem ao domínio).

Passo 11

Comportamento em limites e aproximações úteis (para auxiliar o esboço):
  • Próximo a x\to3^{-}: f(x)\to+\infty.
  • Próximo a x\to3^{+}: f(x)\to-\infty.
  • Próximo a x\to-3^{+}: f(x)\to+\infty.
  • Próximo a x\to-3^{-}: f(x)\to-\infty.
  • Limites no infinito: \lim_{x\to\pm\infty}f(x)=-2. Além disso, uma relação útil:
f(x)+2=\frac{18}{9-x^{2}},
então o sinal de f(x)+2 coincide com o sinal de 9-x^{2}. Em particular, para |x|>3 tem-se f(x)<-2 (aproxima-se de -2 por baixo), e para |x|<3 tem-se f(x)>-2.

Passo 12

Esboço (descrição qualitativa) do gráfico de y=f(x):
  • A função é simétrica em relação ao eixo y.
  • Há duas assíntotas verticais x=-3 e x=3. Entre essas assíntotas ( -3<x<3) a função é positiva (exceto em x=0), côncava para cima e decrescente até x=0 e crescente a partir de x=0. Em x=0 tem um mínimo local em (0,0).
  • Ao se aproximar de x\to-3^{+} e x\to3^{-} a função sobe para +\infty.
  • Para x>3 e x<-3 os ramos são negativos, côncavos para baixo e monotonicamente: à direita de 3 a função cresce (de -\infty em x\to3^{+} para aproximar -2 por baixo quando x\to+\infty); à esquerda de -3 a função decresce (de aproximar -2 por baixo quando x\to-\infty até -\infty ao se aproximar de -3^{-}).
  • Interseções notáveis: cruza o eixo x somente em (0,0). Não há intercepto com o eixo y além de y(0)=0.
  • Em grandes |x| o gráfico aproxima a linha horizontal y=-2, vindo por baixo (valores < -2 quando |x|>3).
Esses pontos e comportamentos permitem desenhar um esboço: dois ramos exteriores negativos que vêm de y=-2 (à esquerda e à direita) e divergem para -\infty ao se aproximarem das assíntotas; entre as assíntotas um “vale” simétrico com mínimo em (0,0) e ramos que vão até +\infty nas proximidades de x=\pm3.

Resposta

Assíntotas verticais: x=-3 e x=3.
Assíntota horizontal: y=-2.
Paridade: f é par.
Primeira derivada: f'(x)=\dfrac{36x}{(9-x^{2})^{2}}.
Segunda derivada: f''(x)=\dfrac{108(3+x^{2})}{(9-x^{2})^{3}}.
Zeros e sinal: f(0)=0; f(x)>0 em (-3,0)\cup(0,3); f(x)<0 em (-\infty,-3)\cup(3,\infty).
Ponto crítico: x=0 (mínimo local em (0,0)).
Monotonicidade: decrescente em (-\infty,-3) e (-3,0); crescente em (0,3) e (3,\infty).
Concavidade: côncava para cima em (-3,3); côncava para baixo em (-\infty,-3) e (3,\infty).
Pontos de inflexão: nenhum no domínio (a mudança de concavidade ocorre em x=\pm3, que não pertencem ao domínio).

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