Considere
, onde
Calcule as assíntotas verticais e horizontais, se houver;
Calcule a simetria (mostre que a função é par ou ímpar);
Calcule a primeira;
Calcule a segunda derivada;
Faça o estudo de sinal;
Encontre os pontos críticos e de inflexão (onde a função é crescente ou decrescente, onde a função tem a concavidade para baixo ou para cima);
E esboce o gráfico de
.
Calcule as assíntotas verticais e horizontais, se houver;
Calcule a simetria (mostre que a função é par ou ímpar);
Calcule a primeira;
Calcule a segunda derivada;
Faça o estudo de sinal;
Encontre os pontos críticos e de inflexão (onde a função é crescente ou decrescente, onde a função tem a concavidade para baixo ou para cima);
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede (lista de tarefas):
- Calcular as assíntotas verticais e horizontais, se existirem.
- Mostrar a simetria (paridade) da função.
- Calcular a primeira derivada
. - Calcular a segunda derivada
. - Fazer o estudo de sinal de
. - Encontrar os pontos críticos e de inflexão e determinar onde a função é crescente/decrescente e onde é côncava para cima/para baixo.
- Esboçar (descrever) o gráfico de
.
Informações dadas e observações imediatas:
- O domínio é formado por todos os
tais que o denominador não se anula, ou seja,
Portanto o domínio é
.
Passo 2
Assíntotas verticais: localizar pontos do domínio onde a função diverge, isto é limites unilaterais em
e
.
Fatorando o denominador:
Para
:
e
, então
. O numerador
. Logo
Para
:
e
, então
e o numerador positivo implica
Para
:
e
, então
e
Para
:
e
, então
e
Conclusão: há assíntotas verticais em
e
.
Passo 3
Assíntotas horizontais: calcular
. Como numerador e denominador têm mesmo grau (grau
), a assíntota horizontal é a razão dos coeficientes dos termos de maior grau. Escrevendo
temos ao ir para infinito
, logo
Conclusão: existe assíntota horizontal
.
Passo 4
Simetria (paridade): comparar
com
.
Como
para todo
do domínio, a função é par (simétrica em relação ao eixo
).
Passo 5
Cálculo da primeira derivada usando a regra do quociente. Seja
e
. Então
e
. A regra do quociente dá
Calcular o numerador:
Portanto
Passo 6
Pontos críticos e monotonicidade: pontos críticos são onde
ou
indefinida (fora do domínio).
-
quando o numerador . O ponto pertence ao domínio. -
é indefinida em (já excluídos do domínio).
Estudo do sinal de
: note que o denominador
é sempre positivo para todo
. Assim o sinal de
é o mesmo do numerador
. Logo:
- Para
: (decrescente). - Para
: (crescente).
Dividindo pelos intervalos do domínio:
- Em
: (decrescente). - Em
: (decrescente). - Em
: (crescente). - Em
: (crescente).
Portanto
é um ponto crítico onde
muda de negativo para positivo, caracterizando um mínimo local em
. O valor é
logo mínimo local em
. Pela paridade, é óbvio que é simétrico (mínimo em 0 único).
Passo 7
Cálculo da segunda derivada. Partimos de
. Usando produto e cadeia:
No segundo termo a derivada de
é
. Assim
Colocando por denominador comum
:
Fatorando:
Passo 8
Concavidade e pontos de inflexão: analisar o sinal de
.
- O numerador
é sempre positivo para todo . - O sinal de
depende, portanto, do sinal de , que tem o mesmo sinal de .
Logo:
- Se
então . Portanto é côncava para cima em (exceto os pontos removidos? lembrar que 0 está incluído). - Se
então . Portanto é côncava para baixo em e em .
Pontos de inflexão: são pontos do domínio onde
muda de sinal e idealmente
(mas a mudança de sinal é o que conta). Aqui
nunca é zero porque
para todo
. A mudança de concavidade ocorre em
, porém esses pontos NÃO pertencem ao domínio (são assíntotas verticais). Portanto não há pontos de inflexão no domínio — não existe
no domínio com
e mudança de concavidade num ponto do domínio. Conclusão: não há pontos de inflexão finitos pertencentes ao gráfico.
Passo 9
Estudo de sinal de
(onde
é positiva, negativa ou zero):
Zeros de
: resolver
numerador
. Assim
é o único zero.
Sinal (saber que
e só é zero em
):
- Para
(intervalo ): denominador , numerador (exceto em 0), então . - Para
: denominador , numerador , então .
Portanto:
-
em . -
. -
em .
Passo 10
Resumo dos pontos críticos, máximos/mínimos, monotonicidade e concavidade:
- Domínio:
. - Assíntotas verticais:
e . - Assíntota horizontal:
. - Paridade:
é par. - Derivadas:
- Pontos críticos no domínio:
(único), com . Como passa de negativo para positivo em , é um mínimo local (na verdade global no intervalo central entre as assíntotas, mas em sentido global a função tem limite no infinito, então comparar nível: , mas é o único mínimo local). - Monotonicidade por intervalos:
- Decrescente em
e em . - Crescente em
e em .
- Decrescente em
- Concavidade:
- Côncava para baixo em
e . - Côncava para cima em
(todo intervalo entre as assíntotas).
- Côncava para baixo em
- Pontos de inflexão: nenhum no domínio (a mudança de concavidade ocorre nas assíntotas
, que não pertencem ao domínio).
Passo 11
Comportamento em limites e aproximações úteis (para auxiliar o esboço):
- Próximo a
: . - Próximo a
: . - Próximo a
: . - Próximo a
: . - Limites no infinito:
. Além disso, uma relação útil:
então o sinal de
coincide com o sinal de
. Em particular, para
tem-se
(aproxima-se de
por baixo), e para
tem-se
.
Passo 12
Esboço (descrição qualitativa) do gráfico de
:
- A função é simétrica em relação ao eixo
. - Há duas assíntotas verticais
e . Entre essas assíntotas ( ) a função é positiva (exceto em ), côncava para cima e decrescente até e crescente a partir de . Em tem um mínimo local em . - Ao se aproximar de
e a função sobe para . - Para
e os ramos são negativos, côncavos para baixo e monotonicamente: à direita de a função cresce (de em para aproximar por baixo quando ); à esquerda de a função decresce (de aproximar por baixo quando até ao se aproximar de ). - Interseções notáveis: cruza o eixo
somente em . Não há intercepto com o eixo além de . - Em grandes
o gráfico aproxima a linha horizontal , vindo por baixo (valores quando ).
Esses pontos e comportamentos permitem desenhar um esboço: dois ramos exteriores negativos que vêm de
(à esquerda e à direita) e divergem para
ao se aproximarem das assíntotas; entre as assíntotas um “vale” simétrico com mínimo em
e ramos que vão até
nas proximidades de
.
Resposta
Assíntotas verticais:
e
.
Assíntota horizontal: .
Paridade: é par.
Primeira derivada: .
Segunda derivada: .
Zeros e sinal: ;
em
;
em
.
Ponto crítico: (mínimo local em
).
Monotonicidade: decrescente em e
; crescente em
e
.
Concavidade: côncava para cima em ; côncava para baixo em
e
.
Pontos de inflexão: nenhum no domínio (a mudança de concavidade ocorre em , que não pertencem ao domínio).
Assíntota horizontal:
Paridade:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Zeros e sinal:
Ponto crítico:
Monotonicidade: decrescente em
Concavidade: côncava para cima em
Pontos de inflexão: nenhum no domínio (a mudança de concavidade ocorre em