Seja f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} contínua em a \in \mathbb{R} e \left(x_{n}\right)_{n} uma sequência tal que \lim x_{n}=a. Prove que a sequencia y_{n}=f\left(x_{n}\right) converge para f(a).

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações e pede o que segue.
  • Dado f: \mathbb{R}\to\mathbb{R} contínua em um ponto a\in\mathbb{R}.
  • Dada uma sequência \left(x_{n}\right)_{n} tal que \lim_{n\to\infty} x_{n}=a.
O que o problema pede:
  • Mostrar que a sequência y_{n}=f\bigl(x_{n}\bigr) converge para f(a), isto é, provar que
\lim_{n\to\infty} y_{n}= \lim_{n\to\infty} f\bigl(x_{n}\bigr) = f(a).

Passo 2

Relembrando a definição de continuidade em a (forma \varepsilon- \delta) de maneira bem clara.
  • A função f é contínua em a significa: para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que, sempre que |x-a|<\delta, temos |f(x)-f(a)|<\varepsilon.
Explicando os quantificadores (porque isso costuma confundir):
  • Primeiro vem “para todo \varepsilon>0” (o examinador escolhe um erro tolerável).
  • Depois existe um \delta>0 (dependendo desse \varepsilon) que garante que pontos x suficientemente próximos de a produzem valores f(x) próximos de f(a).

Passo 3

Relembrando a definição de convergência de sequência (forma \varepsilon- N).
  • Dizemos \lim_{n\to\infty} x_{n}=a quando: para todo \delta>0 existe N\in\mathbb{N} tal que, para todo n\ge N, vale |x_{n}-a|<\delta.
Ou seja: dados \delta>0, a sequência eventualmente fica dentro do intervalo (a-\delta,a+\delta).

Passo 4

Estratégia do prova (curta, para organizar a cabeça antes de meter os detalhes):
  • Queremos mostrar que, dado qualquer \varepsilon>0, existe N tal que para todo n\ge N temos |f(x_{n})-f(a)|<\varepsilon.
  • Usaremos continuidade em a para transformar um dado \varepsilon em um \delta.
  • Em seguida usaremos a convergência x_{n}\to a para transformar esse \delta em um N que garante |x_{n}-a|<\delta para n\ge N.
  • Finalmente combinamos as duas partes para obter |f(x_{n})-f(a)|<\varepsilon para n\ge N.

Passo 5

Execução formal do argumento epsilon-N.
Seja \varepsilon>0 arbitrário. Como f é contínua em a, pela definição da continuidade existe um \delta>0 tal que
\text{se } |x-a|<\delta \text{ então } |f(x)-f(a)|<\varepsilon.ã
Agora que temos esse \delta, usamos a hipótese \lim_{n\to\infty} x_{n}=a. Pela definição da convergência, para esse \delta>0 existe N\in\mathbb{N} tal que, para todo n\ge N,
|x_{n}-a|<\delta.

Passo 6

Concluir a desigualdade desejada para n\ge N.
  • Para n\ge N temos |x_{n}-a|<\delta.
  • Pela escolha de \delta (vindoura da continuidade), isso implica |f(x_{n})-f(a)|<\varepsilon.
  • Logo, mostramos que para todo \varepsilon>0 existe N tal que, para todo n\ge N, vale |f(x_{n})-f(a)|<\varepsilon.
Isto é exatamente a definição de \lim_{n\to\infty} f(x_{n}) = f(a).

Passo 7

Comentário didático e dica de prova para a prova/avaliação:
  • O esquema padrão para este tipo de exercício é sempre “fixe \varepsilon>0 → use continuidade para obter \delta → use x_{n}\to a para obter N correspondente a esse \delta → combine para conseguir a desigualdade com \varepsilon”.
  • Interpretação intuitiva: continuidade em a significa que valores de entrada próximos a a dão valores de saída próximos a f(a); como a sequência x_{n} tende a a, seus termos ficam próximos de a a partir de certo índice, portanto os f(x_{n}) ficam próximos de f(a).
  • Exemplo concreto (para treinar): tome f(x)=x^{2}, a=0 e x_{n}=1/n. Então x_{n}\to 0 e f(x_{n})=(1/n)^{2}\to 0=f(0). O mesmo esquema \varepsilon- \delta/ \varepsilon- N funciona aqui.

Resposta

\displaystyle \lim_{n\to\infty} f(x_{n}) = f(a)

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