Seja
contínua em
e
uma sequência tal que
. Prove que a sequencia
converge para
.
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações e pede o que segue.
- Dado
contínua em um ponto . - Dada uma sequência
tal que .
O que o problema pede:
- Mostrar que a sequência
converge para , isto é, provar que
Passo 2
Relembrando a definição de continuidade em
(forma
-
) de maneira bem clara.
- A função
é contínua em significa: para todo existe tal que, sempre que , temos .
Explicando os quantificadores (porque isso costuma confundir):
- Primeiro vem “para todo
” (o examinador escolhe um erro tolerável). - Depois existe um
(dependendo desse ) que garante que pontos suficientemente próximos de produzem valores próximos de .
Passo 3
Relembrando a definição de convergência de sequência (forma
-
).
- Dizemos
quando: para todo existe tal que, para todo , vale .
Ou seja: dados
, a sequência eventualmente fica dentro do intervalo
.
Passo 4
Estratégia do prova (curta, para organizar a cabeça antes de meter os detalhes):
- Queremos mostrar que, dado qualquer
, existe tal que para todo temos . - Usaremos continuidade em
para transformar um dado em um . - Em seguida usaremos a convergência
para transformar esse em um que garante para . - Finalmente combinamos as duas partes para obter
para .
Passo 5
Execução formal do argumento epsilon-N.
Seja
arbitrário. Como
é contínua em
, pela definição da continuidade existe um
tal que
Agora que temos esse
, usamos a hipótese
. Pela definição da convergência, para esse
existe
tal que, para todo
,
Passo 6
Concluir a desigualdade desejada para
.
- Para
temos . - Pela escolha de
(vindoura da continuidade), isso implica . - Logo, mostramos que para todo
existe tal que, para todo , vale .
Isto é exatamente a definição de
.
Passo 7
Comentário didático e dica de prova para a prova/avaliação:
- O esquema padrão para este tipo de exercício é sempre “fixe
→ use continuidade para obter → use para obter correspondente a esse → combine para conseguir a desigualdade com ”. - Interpretação intuitiva: continuidade em
significa que valores de entrada próximos a dão valores de saída próximos a ; como a sequência tende a , seus termos ficam próximos de a partir de certo índice, portanto os ficam próximos de . - Exemplo concreto (para treinar): tome
, e . Então e . O mesmo esquema - / - funciona aqui.