Resolva os seguintes problemas de valor inicial
\left\{\begin{array}{l}x^{\prime \prime}+16 x=\cos (4 t), \\\ x(0)=0, \\\ x^{\prime}(0)=1\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá um problema de valor inicial com a equação diferencial de segunda ordem e condições iniciais. Especificamente:
  • Equação: x'' + 16x = \cos(4t).
  • Condições iniciais: x(0)=0,\qquad x'(0)=1.
O que se pede: encontrar a função x(t) que satisfaz a equação diferencial e as duas condições iniciais.

Passo 2

Observação importante sobre a equação: é uma equação linear não homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. A solução geral tem a forma
x(t)=x_h(t)+x_p(t),
onde x_h é a solução geral da equação homogênea associada e x_p é uma solução particular da equação não homogênea. Primeiro vamos achar x_h.

Passo 3

Resolver a equação homogênea associada:
x''+16x=0.
Procuramos soluções da forma x=e^{rt}. Substituindo obtemos o polinômio característico
r^2+16=0 \quad\Rightarrow\quad r=\pm 4i.
Portanto as soluções reais fundamentais são \cos(4t) e \sin(4t). Assim a solução geral homogênea é
x_h(t)=C_1\cos(4t)+C_2\sin(4t),
onde C_1 e C_2 são constantes a determinar pelas condições iniciais.

Passo 4

Agora precisamos de uma solução particular x_p(t) da equação completa \,x''+16x=\cos(4t).
Repare que o termo forçante \cos(4t) é uma solução da homogênea (mesma frequência 4). Isso cria ressonância, então o método de coeficientes indeterminados pede uma tentativa multiplicada por t. Logo tentamos
x_p(t)=t\bigl(A\cos(4t)+B\sin(4t)\bigr),
com A e B constantes a determinar. Vou calcular x_p' e x_p''.

Passo 5

Calcule x_p'(t). Usando produto e derivadas de seno/cosseno:
x_p'(t)=A\cos(4t)+B\sin(4t)+t\bigl(-4A\sin(4t)+4B\cos(4t)\bigr).
Agora x_p''(t) derivando novamente:
\begin{aligned} x_p''(t)&=\bigl(-4A\sin(4t)+4B\cos(4t)\bigr) \\\ &\qquad +\bigl(-4A\sin(4t)+4B\cos(4t)\bigr) + t\bigl(-16A\cos(4t)-16B\sin(4t)\bigr)\\\ &= -8A\sin(4t)+8B\cos(4t) + t\bigl(-16A\cos(4t)-16B\sin(4t)\bigr). \end{aligned}

Passo 6

Agora substituímos x_p e x_p'' na equação x''+16x=\cos(4t):
x_p''+16x_p = \bigl(-8A\sin(4t)+8B\cos(4t)\bigr) + t\bigl(-16A\cos(4t)-16B\sin(4t)\bigr) +16t\bigl(A\cos(4t)+B\sin(4t)\bigr).
Os termos com fator t cancelam porque -16A+16A=0 e -16B+16B=0. Resta
x_p''+16x_p = -8A\sin(4t)+8B\cos(4t).
Isso deve ser igual a \cos(4t). Igualando coeficientes de \cos(4t) e \sin(4t) obtemos o sistema
8B=1,\qquad -8A=0.
Logo
A=0,\qquad B=\frac{1}{8}.

Passo 7

Portanto a solução particular é
x_p(t)=t\left(0\cdot\cos(4t)+\frac{1}{8}\sin(4t)\right)=\frac{t}{8}\sin(4t).
A solução geral da equação não homogênea é
x(t)=C_1\cos(4t)+C_2\sin(4t)+\frac{t}{8}\sin(4t).

Passo 8

Agora aplicamos as condições iniciais para determinar C_1 e C_2.
Primeira condição: x(0)=0. Avaliando em t=0:
x(0)=C_1\cos(0)+C_2\sin(0)+\frac{0}{8}\sin(0)=C_1\cdot 1 + 0 + 0 = C_1.
Como x(0)=0, segue C_1=0.
Segunda condição: precisamos de x'(t). Diferenciando x(t) com C_1=0:
\begin{aligned} x'(t)&= -4C_1\sin(4t)+4C_2\cos(4t) + \frac{d}{dt}\!\left(\frac{t}{8}\sin(4t)\right)\\\ &=4C_2\cos(4t) + \frac{1}{8}\sin(4t)+\frac{t}{8}\cdot 4\cos(4t)\\\ &=4C_2\cos(4t)+\frac{1}{8}\sin(4t)+\frac{t}{2}\cos(4t). \end{aligned}
Agora avalie em t=0:
x'(0)=4C_2\cdot 1 + \frac{1}{8}\cdot 0 + 0 = 4C_2.
Como x'(0)=1, segue 4C_2=1, isto é C_2=\dfrac{1}{4}.

Passo 9

Substituindo C_1=0 e C_2=\dfrac{1}{4} na solução geral obtemos
x(t)=\frac{1}{4}\sin(4t)+\frac{t}{8}\sin(4t).
Podemos fatorar \sin(4t):
x(t)=\left(\frac{1}{4}+\frac{t}{8}\right)\sin(4t)=\frac{t+2}{8}\sin(4t).

Resposta

x(t)=\frac{t+2}{8}\sin(4t).

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