Resolva os seguintes problemas de valor inicial \left\{\begin{array}{l}x^{\prime \prime}+16 x=\cos (4 t), \\\ x(0)=0, \\\ x^{\prime}(0)=1\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado dá um problema de valor inicial com a equação diferencial de segunda ordem e condições iniciais. Especificamente:
Equação: x'' + 16x = \cos(4t).
Condições iniciais: x(0)=0,\qquad x'(0)=1.
O que se pede: encontrar a função x(t) que satisfaz a equação diferencial e as duas condições iniciais.
Passo 2
Observação importante sobre a equação: é uma equação linear não homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. A solução geral tem a forma
x(t)=x_h(t)+x_p(t),
onde x_h é a solução geral da equação homogênea associada e x_p é uma solução particular da equação não homogênea. Primeiro vamos achar x_h.
Passo 3
Resolver a equação homogênea associada:
x''+16x=0.
Procuramos soluções da forma x=e^{rt}. Substituindo obtemos o polinômio característico
r^2+16=0 \quad\Rightarrow\quad r=\pm 4i.
Portanto as soluções reais fundamentais são \cos(4t) e \sin(4t). Assim a solução geral homogênea é
x_h(t)=C_1\cos(4t)+C_2\sin(4t),
onde C_1 e C_2 são constantes a determinar pelas condições iniciais.
Passo 4
Agora precisamos de uma solução particular x_p(t) da equação completa \,x''+16x=\cos(4t).
Repare que o termo forçante \cos(4t) é uma solução da homogênea (mesma frequência 4). Isso cria ressonância, então o método de coeficientes indeterminados pede uma tentativa multiplicada por t. Logo tentamos
x_p(t)=t\bigl(A\cos(4t)+B\sin(4t)\bigr),
com A e B constantes a determinar. Vou calcular x_p' e x_p''.
Passo 5
Calcule x_p'(t). Usando produto e derivadas de seno/cosseno: