O que precisa ser encontrado é a função y(t) que satisfaz a equação diferencial e as duas condições iniciais.]
Passo 2
Plano de resolução (aqui apenas explicando o que vamos fazer, sem resolver ainda).
Primeiro achamos a solução geral da equação homogênea associada \,y''+2y'+5y=0. Para isso usamos a equação característica (uma técnica padrão para equações lineares com coeficientes constantes).
Depois procuramos uma solução particular da equação completa usando o método dos coeficientes indeterminados (porque o lado direito é \operatorname{sen}(2t), uma função trigonométrica simples).
A solução geral da equação não-homogênea será a soma da homogênea com a particular. Finalmente aplicamos as condições iniciais para determinar as constantes.
Passo 3
Resolver a equação característica da homogênea.
A equação característica é obtida substituindo y=e^{rt} em y''+2y'+5y=0, o que leva a
onde C_{1} e C_{2} são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais depois.
Passo 5
Escolha de um ansatz (chute educado) para a solução particular pelo método dos coeficientes indeterminados.
O termo de força é \operatorname{sen}(2t). Uma escolha natural é
y_{p}(t)=A\cos(2t)+B\sin(2t),
com A e B constantes a determinar. Explico por que esse tipo de chute funciona: o operador diferencial é linear com coeficientes constantes, e ao aplicar esse operador em combinações de \cos(2t) e \sin(2t) obtém-se novamente combinações de \cos(2t) e \sin(2t). Observação importante: não há conflito com a solução homogênea porque y_{h} tem fator e^{-t}; portanto o termo puro \cos(2t) e \sin(2t) não aparece na homogênea e o ansatz acima é válido sem multiplicação extra por t.
Passo 6
Calcular y_{p}' e y_{p}'' e substituir na equação para achar A e B.
Derivando:
y_{p}'(t)=-2A\sin(2t)+2B\cos(2t),
y_{p}''(t)=-4A\cos(2t)-4B\sin(2t).
Agora formamos y_{p}''+2y_{p}'+5y_{p}. Substituindo cada termo:
Impor igualdade com o lado direito \operatorname{sen}(2t)\), que é \(0\cdot\cos(2t)+1\cdot\sin(2t)\). Assim obtemos o sistema linear para \(A\) e \(B\):
\[\begin{cases} A+4B=0,\\[4pt] -4A+B=1. \end{cases}
Resolver: da primeira equação (A=-4B]. Substituindo na segunda: -4(-4B)+B=1 \quad\Rightarrow\quad 16B+B=1 \quad\Rightarrow\quad 17B=1 \quad\Rightarrow\quad B=\dfrac{1}{17}.
Então A=-4B=-\dfrac{4}{17}.]
Passo 8
Agora escrevemos y_{p} com os valores encontrados:
(Explanação curta: a derivada de e^{-t} é -e^{-t}, e as derivadas de \cos(2t) e \sin(2t) trazem fatores \mp2. Agrupando os termos obtém-se o coeficiente mostrado.)
Já derivada da parte particular (usada antes) é
y_{p}'(t)=-2A\sin(2t)+2B\cos(2t).
Com A=-\dfrac{4}{17} e B=\dfrac{1}{17} temos, em t=0,