Considere que y seja dada implicitamente como uma função diferenciável das demais variáveis das equações. Encontre o valor das derivadas parciais indicadas quando as variáveis tem os valores dados
Se \frac{\sin (y-x)}{z^{2}}=\frac{\cos (x+y)}{w^{2}-3}, ache \frac{\partial y}{\partial x} e \frac{\partial y}{\partial z}, quando x=\frac{\pi}{4}, z=1, y=\frac{\pi}{4} e w=-1

Passo 1

O enunciado dá a relação implícita entre x,y,z,w:
\frac{\sin(y-x)}{z^{2}}=\frac{\cos(x+y)}{w^{2}-3},
e pede para encontrar \dfrac{\partial y}{\partial x} e \dfrac{\partial y}{\partial z} avaliadas no ponto
x=\frac{\pi}{4},\qquad y=\frac{\pi}{4},\qquad z=1,\qquad w=-1.
Aqui y é tratada como função diferenciável das demais variáveis. Para \dfrac{\partial y}{\partial x} devemos derivar mantendo z e w constantes; para \dfrac{\partial y}{\partial z} devemos derivar mantendo x e w constantes. Todas as informações numéricas acima serão usadas ao final para avaliar as expressões.

Passo 2

Vamos obter uma expressão geral para \dfrac{\partial y}{\partial x} por diferenciação implícita. Primeiro escrevo a equação como função F(x,y,z,w)=0:
F(x,y,z,w)=\frac{\sin(y-x)}{z^{2}}-\frac{\cos(x+y)}{w^{2}-3}=0.
Agora diferencio ambos os lados em relação a x, tratando y como função de x (ou seja, aparece \dfrac{\partial y}{\partial x}). Explico as regras usadas:
  • Regra da cadeia: se u=u(x) e se tem \sin(u), então \dfrac{d}{dx}\sin(u)=\cos(u)\,u'.
  • Derivada de z^{-2} em relação a x é zero porque, ao derivar em relação a x para \partial/\partial x, z é mantido constante.
    Aplicando isso ao primeiro termo \dfrac{\sin(y-x)}{z^{2}}:
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{\sin(y-x)}{z^{2}}\right)=\frac{1}{z^{2}}\cos(y-x)\,\left(\frac{\partial y}{\partial x}-1\right).
Para o segundo termo \dfrac{\cos(x+y)}{w^{2}-3}, w é constante, então
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{\cos(x+y)}{w^{2}-3}\right)=\frac{1}{w^{2}-3}\cdot\left(-\sin(x+y)\right)\left(1+\frac{\partial y}{\partial x}\right).
Como os dois lados são iguais, suas derivadas também se igualam:
\frac{1}{z^{2}}\cos(y-x)\left(\frac{\partial y}{\partial x}-1\right) = \frac{1}{w^{2}-3}\cdot\left(-\sin(x+y)\right)\left(1+\frac{\partial y}{\partial x}\right).

Passo 3

Agora isolo \dfrac{\partial y}{\partial x}. Para simplificar escrevo p=\dfrac{\partial y}{\partial x}. A igualdade do passo anterior é
\frac{\cos(y-x)}{z^{2}}(p-1) = -\frac{\sin(x+y)}{w^{2}-3}(1+p).
Faço repartição dos termos com p para um lado e os sem p para o outro:
\frac{\cos(y-x)}{z^{2}}\,p + \frac{\sin(x+y)}{w^{2}-3}\,p = \frac{\cos(y-x)}{z^{2}} - \frac{\sin(x+y)}{w^{2}-3}.
Fatorando p:
p\left(\frac{\cos(y-x)}{z^{2}} + \frac{\sin(x+y)}{w^{2}-3}\right) = \frac{\cos(y-x)}{z^{2}} - \frac{\sin(x+y)}{w^{2}-3}.
Portanto a expressão geral é
\frac{\partial y}{\partial x} = \frac{\dfrac{\cos(y-x)}{z^{2}} - \dfrac{\sin(x+y)}{w^{2}-3}} {\dfrac{\cos(y-x)}{z^{2}} + \dfrac{\sin(x+y)}{w^{2}-3}}.

Passo 4

Agora avalio \dfrac{\partial y}{\partial x} no ponto dado. Primeiro calculo as trigonometria e os denominadores:
y-x=\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{4}=0 \quad\Rightarrow\quad \cos(y-x)=\cos 0=1,
x+y=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}\quad\Rightarrow\quad \sin(x+y)=\sin\frac{\pi}{2}=1,
z^{2}=1^{2}=1,\qquad w^{2}-3 = (-1)^{2}-3 = 1-3 = -2.
Substituo na expressão do passo anterior:
\frac{\partial y}{\partial x} = \frac{\dfrac{1}{1} - \dfrac{1}{-2}}{\dfrac{1}{1} + \dfrac{1}{-2}} = \frac{1 - (-\tfrac{1}{2})}{1 + (-\tfrac{1}{2})} = \frac{1 + \tfrac{1}{2}}{1 - \tfrac{1}{2}} = \frac{\tfrac{3}{2}}{\tfrac{1}{2}}=3.

Passo 5

Agora derivamos para obter \dfrac{\partial y}{\partial z}. Diferencio implicitamente a equação em relação a z, mantendo x e w constantes. A expressão esquerda é \sin(y-x)\cdot z^{-2}; uso a regra do produto (ou visão direta de z^{-2} como fator):
  • Derivada do fator \sin(y-x) em relação a z: \cos(y-x)\cdot \dfrac{\partial y}{\partial z}.
  • Derivada de z^{-2} em relação a z: -2 z^{-3}.
    Assim
\frac{d}{dz}\!\left(\frac{\sin(y-x)}{z^{2}}\right) = \frac{1}{z^{2}}\cos(y-x)\,\frac{\partial y}{\partial z} + \sin(y-x)\cdot(-2)z^{-3}.
Para o lado direito \dfrac{\cos(x+y)}{w^{2}-3}, x e w são constantes, então a derivada é apenas por dependência de y:
\frac{d}{dz}\!\left(\frac{\cos(x+y)}{w^{2}-3}\right) = \frac{1}{w^{2}-3}\cdot\left(-\sin(x+y)\right)\frac{\partial y}{\partial z}.
Igualando as derivadas:
\frac{1}{z^{2}}\cos(y-x)\,\frac{\partial y}{\partial z} - \frac{2\sin(y-x)}{z^{3}} = -\frac{\sin(x+y)}{w^{2}-3}\,\frac{\partial y}{\partial z}.

Passo 6

Agora isolo \dfrac{\partial y}{\partial z}. Reagrupo os termos com \dfrac{\partial y}{\partial z} no lado esquerdo:
\left(\frac{\cos(y-x)}{z^{2}} + \frac{\sin(x+y)}{w^{2}-3}\right)\frac{\partial y}{\partial z} = \frac{2\sin(y-x)}{z^{3}}.
Logo a fórmula geral é
\frac{\partial y}{\partial z} = \frac{\dfrac{2\sin(y-x)}{z^{3}}} {\dfrac{\cos(y-x)}{z^{2}} + \dfrac{\sin(x+y)}{w^{2}-3}}.
Podemos simplificar multiplicando numerador e denominador por z^{3}, ficando
\frac{\partial y}{\partial z} = \frac{2\sin(y-x)} {z\cos(y-x) + z^{3}\dfrac{\sin(x+y)}{w^{2}-3}},
mas para avaliação numérica é mais direto usar a forma anterior.

Passo 7

Avalio \dfrac{\partial y}{\partial z} no ponto dado. Já calculei trigonometria e denominadores no Passo 4:
\sin(y-x)=\sin 0=0.
Como o numerador contém 2\sin(y-x), o numerador é zero. O denominador no ponto é
\frac{\cos(y-x)}{z^{2}} + \frac{\sin(x+y)}{w^{2}-3} = 1 + \frac{1}{-2} = \tfrac{1}{2}\neq 0.
Portanto
\frac{\partial y}{\partial z}=0.

Resposta

\dfrac{\partial y}{\partial x}=3\n
\dfrac{\partial y}{\partial z}=0

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