Considere que
seja dada implicitamente como uma função diferenciável das demais variáveis das equações. Encontre o valor das derivadas parciais indicadas quando as variáveis tem os valores dados
Se
, ache
e
, quando
e
Se
Passo 1
O enunciado dá a relação implícita entre
:
e pede para encontrar
e
avaliadas no ponto
Aqui
é tratada como função diferenciável das demais variáveis. Para
devemos derivar mantendo
e
constantes; para
devemos derivar mantendo
e
constantes. Todas as informações numéricas acima serão usadas ao final para avaliar as expressões.
Passo 2
Vamos obter uma expressão geral para
por diferenciação implícita. Primeiro escrevo a equação como função
:
Agora diferencio ambos os lados em relação a
, tratando
como função de
(ou seja, aparece
). Explico as regras usadas:
- Regra da cadeia: se
e se tem , então . - Derivada de
em relação a é zero porque, ao derivar em relação a para , é mantido constante.
Aplicando isso ao primeiro termo:
Para o segundo termo
,
é constante, então
Como os dois lados são iguais, suas derivadas também se igualam:
Passo 3
Agora isolo
. Para simplificar escrevo
. A igualdade do passo anterior é
Faço repartição dos termos com
para um lado e os sem
para o outro:
Fatorando
:
Portanto a expressão geral é
Passo 4
Agora avalio
no ponto dado. Primeiro calculo as trigonometria e os denominadores:
Substituo na expressão do passo anterior:
Passo 5
Agora derivamos para obter
. Diferencio implicitamente a equação em relação a
, mantendo
e
constantes. A expressão esquerda é
; uso a regra do produto (ou visão direta de
como fator):
- Derivada do fator
em relação a : . - Derivada de
em relação a : .
Assim
Para o lado direito
,
e
são constantes, então a derivada é apenas por dependência de
:
Igualando as derivadas:
Passo 6
Agora isolo
. Reagrupo os termos com
no lado esquerdo:
Logo a fórmula geral é
Podemos simplificar multiplicando numerador e denominador por
, ficando
mas para avaliação numérica é mais direto usar a forma anterior.
Passo 7
Avalio
no ponto dado. Já calculei trigonometria e denominadores no Passo 4:
Como o numerador contém
, o numerador é zero. O denominador no ponto é
Portanto