Se
, onde
é diferenciável em um ponto interior
de seu domínio , definimos a diferencial total
, ou
, em (
) por
onde
e
as diferenciais de suas variáveis independentes, podem ter valores arbitrários. A diferencial total
fornece uma aproximação da variação
dependente de
causada pelo incremento de
e
das quantidades
e
, respectivamente.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede (em palavras simples).
- Foi dada uma função
diferenciável num ponto interior do domínio. - Foi apresentada a definição da diferencial total:
- Também foi dito que
são diferenciais (incrementos) das variáveis independentes e que aproxima a variação causada por esses incrementos.
O objetivo aqui é explicar passo a passo o que essa definição significa, de onde vem, como usar na prática (aproximação e propagação de erros) e dar exemplos bem mastigados para você saber aplicar na prova.
Passo 2
O que significa “a função é diferenciável” e por que isso gera a fórmula da diferencial total.
- Diferenciabilidade em várias variáveis significa que, perto do ponto
, a variação de pode ser escrita como uma parte linear nas variações das variáveis mais um resto pequeno de ordem mais alta. - Em fórmulas: seja
. Se é diferenciável, existe uma função de resto tal que
onde
satisfaz
com
. Essa notação diz que o resto é “de ordem menor” do que
(escreve-se às vezes
).
- A parte linear
é justamente a diferencial total
(ou
) quando identificamos
,
,
para incrementos pequenos.
Passo 3
Derivando a fórmula do diferencial total de forma direta (passo a passo).
- Começa-se com a definição de
:
- Pela diferenciabilidade, aproximamos
por sua parte linear:
- Então definimos a diferencial total como essa parte linear — isto é, para incrementos infinitesimais
escrevemos
- Em palavras:
é a melhor aproximação linear de para incrementos pequenos; o que sobra é um erro pequeno comparado ao tamanho do incremento.
Passo 4
Interpretação geométrica e forma compacta (produto escalar com o gradiente).
- Defina o vetor posição
e o incremento . - Defina o gradiente de
no ponto como
- A diferencial total pode ser escrita de modo compacto como produto escalar:
- Isso significa:
é a projeção do vetor incremento na direção em que cresce mais rápido (direção do gradiente), ponderada pela intensidade do gradiente.
Passo 5
Exemplo concreto passo a passo (faça assim na prova).
- Considere
. Vamos aproximar a mudança de saindo do ponto com incrementos , , . - Primeiro calcule as derivadas parciais:
- Avalie no ponto
:
- A diferencial é então
- Substituindo os incrementos
, , :
- Isso diz que a aproximação linear dá
. Como , obtemos aproximado . - Para conferência, calcula-se (rápido) o valor exato aproximado:
ou seja, a aproximação linear
ficou muito próxima do valor exato
. O erro é da ordem de
, consistente com o resto ser de ordem
.
Passo 6
Estimativa de erro e porque a aproximação funciona (intuição prática).
- O resto
que subtraímos ao usar é pequeno: tipicamente quando as derivadas são contínuas, com . - Intuição: termos lineares dominam para incrementos pequenos; termos quadráticos e superiores (do desenvolvimento em série) ficam muito menores.
- Regra prática na prova: se
são da ordem de ou menores, usar apenas costuma dar boa precisão; se precisar de precisão muito alta, incluir termos de segunda ordem via expansão de Taylor.
Passo 7
Aplicação importante: propagação de incertezas (erro experimental).
- Se
são medidas com incertezas , a incerteza aproximada em pode ser estimada por: - Cota conservadora (erro máximo):
- Propagação de erros estatística (se
são desvios padrão independentes):
- Cota conservadora (erro máximo):
- Exemplo numérico rápido usando as derivadas do exemplo anterior e
, , :
- Interpretação: o desvio padrão de
é cerca de nessa situação.
Passo 8
Dicas rápidas para a prova (como fazer sem errar).
- Sempre calcule primeiro as derivadas parciais simbolicamente e só depois avalie no ponto dado; isso evita re-trabalhos.
- Trate
como incrementos numéricos (podem ser pequenos valores positivos ou negativos). - Se o enunciado pedir “aproxime
em ”, use com etc. - Se pedirem propagação de erro, decida se querem erro máximo (somatório de módulos) ou erro estatístico (soma quadrática) e explique o que você está assumindo.
- Lembre-se: diferenciabilidade (e continuidade das derivadas parciais) é a hipótese que garante que o termo de erro é realmente pequeno. Se não houver diferenciabilidade, não se pode usar
dessa forma.