Se w=f(x, y, z), onde f é diferenciável em um ponto interior (x, y, z) de seu domínio , definimos a diferencial total d w, ou d f, em ( x, y, z ) por
d w=d f=\frac{\partial w}{\partial x} d x+\frac{\partial w}{\partial y} d y+\frac{\partial w}{\partial z} d z=f_{x}(x, y, z) d x+f_{y}(x, y, z) d y+f_{z}(x, y, z) d z
onde d x, d y e d z as diferenciais de suas variáveis independentes, podem ter valores arbitrários. A diferencial total d w fornece uma aproximação da variação \Delta w dependente de w causada pelo incremento de x, y e z das quantidades d x, d y e d z, respectivamente.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede (em palavras simples).
  • Foi dada uma função w=f(x,y,z) diferenciável num ponto interior (x,y,z) do domínio.
  • Foi apresentada a definição da diferencial total:
d w = d f = f_{x}(x,y,z)\,d x + f_{y}(x,y,z)\,d y + f_{z}(x,y,z)\,d z.
  • Também foi dito que d x,d y,d z são diferenciais (incrementos) das variáveis independentes e que d w aproxima a variação \Delta w causada por esses incrementos.
    O objetivo aqui é explicar passo a passo o que essa definição significa, de onde vem, como usar na prática (aproximação e propagação de erros) e dar exemplos bem mastigados para você saber aplicar na prova.

Passo 2

O que significa “a função é diferenciável” e por que isso gera a fórmula da diferencial total.
  • Diferenciabilidade em várias variáveis significa que, perto do ponto (x,y,z), a variação de f pode ser escrita como uma parte linear nas variações das variáveis mais um resto pequeno de ordem mais alta.
  • Em fórmulas: seja \Delta w = f(x+ \Delta x,\,y+\Delta y,\,z+\Delta z)-f(x,y,z). Se f é diferenciável, existe uma função de resto R(\Delta x,\Delta y,\Delta z) tal que
\Delta w = f_{x}(x,y,z)\,\Delta x + f_{y}(x,y,z)\,\Delta y + f_{z}(x,y,z)\,\Delta z + R(\Delta x,\Delta y,\Delta z),
onde R(\Delta x,\Delta y,\Delta z) satisfaz
\frac{R(\Delta x,\Delta y,\Delta z)}{\rho} \to 0 \quad\text{quando}\quad \rho \to 0,
com \rho=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2+(\Delta z)^2}. Essa notação diz que o resto é “de ordem menor” do que \rho (escreve-se às vezes R=o(\rho)).
  • A parte linear
f_{x}(x,y,z)\,\Delta x + f_{y}(x,y,z)\,\Delta y + f_{z}(x,y,z)\,\Delta z
é justamente a diferencial total d f (ou d w) quando identificamos d x=\Delta x, d y=\Delta y, d z=\Delta z para incrementos pequenos.

Passo 3

Derivando a fórmula do diferencial total de forma direta (passo a passo).
  • Começa-se com a definição de \Delta w:
\Delta w = f(x+\Delta x,y+\Delta y,z+\Delta z)-f(x,y,z).
  • Pela diferenciabilidade, aproximamos \Delta w por sua parte linear:
\Delta w \approx f_{x}(x,y,z)\,\Delta x + f_{y}(x,y,z)\,\Delta y + f_{z}(x,y,z)\,\Delta z.
  • Então definimos a diferencial total como essa parte linear — isto é, para incrementos infinitesimais d x,d y,d z escrevemos
d w = d f = f_{x}(x,y,z)\,d x + f_{y}(x,y,z)\,d y + f_{z}(x,y,z)\,d z.
  • Em palavras: d f é a melhor aproximação linear de \Delta w para incrementos pequenos; o que sobra é um erro pequeno comparado ao tamanho do incremento.

Passo 4

Interpretação geométrica e forma compacta (produto escalar com o gradiente).
  • Defina o vetor posição \mathbf{r}=(x,y,z) e o incremento \mathbf{d r}=(d x,d y,d z).
  • Defina o gradiente de f no ponto como
\nabla f(x,y,z) = \bigl(f_{x}(x,y,z),\,f_{y}(x,y,z),\,f_{z}(x,y,z)\bigr).
  • A diferencial total pode ser escrita de modo compacto como produto escalar:
d f = \nabla f(x,y,z)\cdot d\mathbf{r}.
  • Isso significa: d f é a projeção do vetor incremento d\mathbf{r} na direção em que f cresce mais rápido (direção do gradiente), ponderada pela intensidade do gradiente.

Passo 5

Exemplo concreto passo a passo (faça assim na prova).
  • Considere f(x,y,z)=x^{2}y+\sin z. Vamos aproximar a mudança de f saindo do ponto (1,2,0) com incrementos d x=0,01, d y=-0,02, d z=0,005.
  • Primeiro calcule as derivadas parciais:
f_{x}(x,y,z)=2xy,\qquad f_{y}(x,y,z)=x^{2},\qquad f_{z}(x,y,z)=\cos z.
  • Avalie no ponto (1,2,0):
f_{x}(1,2,0)=2\cdot1\cdot2=4,\qquad f_{y}(1,2,0)=1^{2}=1,\qquad f_{z}(1,2,0)=\cos 0=1.
  • A diferencial é então
d f = 4\cdot d x + 1\cdot d y + 1\cdot d z.
  • Substituindo os incrementos d x=0,01, d y=-0,02, d z=0,005:
d f = 4\cdot 0,01 + 1\cdot(-0,02) + 1\cdot 0,005 = 0,04 - 0,02 + 0,005 = 0,025.
  • Isso diz que a aproximação linear dá f(1+0,01,\,2-0,02,\,0+0,005)\approx f(1,2,0)+0,025. Como f(1,2,0)=1^{2}\cdot2+\sin 0=2, obtemos f aproximado \approx 2,025.
  • Para conferência, calcula-se (rápido) o valor exato aproximado:
f(1,01,1,98,0,005)=(1,01)^{2}\cdot1,98+\sin(0,005)\approx 2,019798+0,0049999\approx 2,024798,
ou seja, a aproximação linear 2,025 ficou muito próxima do valor exato 2,024798. O erro é da ordem de 10^{-4}, consistente com o resto ser de ordem \rho^{2}.

Passo 6

Estimativa de erro e porque a aproximação funciona (intuição prática).
  • O resto R que subtraímos ao usar d f é pequeno: tipicamente R=O(\rho^{2}) quando as derivadas são contínuas, com \rho=\sqrt{(d x)^{2}+(d y)^{2}+(d z)^{2}}.
  • Intuição: termos lineares dominam para incrementos pequenos; termos quadráticos e superiores (do desenvolvimento em série) ficam muito menores.
  • Regra prática na prova: se |d x|,|d y|,|d z| são da ordem de 10^{-2} ou menores, usar apenas d f costuma dar boa precisão; se precisar de precisão muito alta, incluir termos de segunda ordem via expansão de Taylor.

Passo 7

Aplicação importante: propagação de incertezas (erro experimental).
  • Se x,y,z são medidas com incertezas \delta x,\delta y,\delta z, a incerteza aproximada em w=f(x,y,z) pode ser estimada por:
    • Cota conservadora (erro máximo): \delta w \approx |f_{x}|\delta x + |f_{y}|\delta y + |f_{z}|\delta z.
    • Propagação de erros estatística (se \delta x,\delta y,\delta z são desvios padrão independentes):
\sigma_{w} \approx \sqrt{(f_{x}\,\sigma_{x})^{2} + (f_{y}\,\sigma_{y})^{2} + (f_{z}\,\sigma_{z})^{2}}.
  • Exemplo numérico rápido usando as derivadas do exemplo anterior e \sigma_{x}=0,01, \sigma_{y}=0,02, \sigma_{z}=0,005:
\sigma_{w}\approx\sqrt{(4\cdot0,01)^{2}+(1\cdot0,02)^{2}+(1\cdot0,005)^{2}}=\sqrt{0,0016+0,0004+0,000025}=\sqrt{0,002025}\approx0,045.
  • Interpretação: o desvio padrão de w é cerca de 0,045 nessa situação.

Passo 8

Dicas rápidas para a prova (como fazer sem errar).
  • Sempre calcule primeiro as derivadas parciais simbolicamente e só depois avalie no ponto dado; isso evita re-trabalhos.
  • Trate d x,d y,d z como incrementos numéricos (podem ser pequenos valores positivos ou negativos).
  • Se o enunciado pedir “aproxime f em (x+\Delta x,\dots)”, use f(x,y,z)+d f com d x=\Delta x etc.
  • Se pedirem propagação de erro, decida se querem erro máximo (somatório de módulos) ou erro estatístico (soma quadrática) e explique o que você está assumindo.
  • Lembre-se: diferenciabilidade (e continuidade das derivadas parciais) é a hipótese que garante que o termo de erro é realmente pequeno. Se não houver diferenciabilidade, não se pode usar d f dessa forma.

Resposta

d w = d f = f_{x}(x,y,z)\,d x + f_{y}(x,y,z)\,d y + f_{z}(x,y,z)\,d z

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