A potência P consumida por uma resistência elétrica é dada por P=E^{2} / R watts, onde E é a força eletromotriz em volts e R é a resistência em ohms. Se em um dado instante, tem-se E=100 volts e R=5 ohms. Aproximadamente quanto irá variar a potência se E decrescer de 2 volts e R crescer de 0,3 ohms?

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte (vou listar exatamente os dados que temos):
  • A fórmula da potência: P=\dfrac{E^{2}}{R} (em watts).
  • Valores no instante considerado: E=100 volts e R=5 ohms.
  • Variações pequenas: E decresce de 2 volts, ou seja \Delta E=-2; R cresce de 0,3 ohms, ou seja \Delta R=0,3.
  • Pergunta: aproximadamente quanto varia a potência P devido a essas pequenas variações de E e R? (Queremos \Delta P aproximado.)

Passo 2

Ideia da aproximação (explicação didática): quando as variações em E e R são pequenas, dá para aproximar a mudança de P por uma aproximação linear (a chamada diferencial ou linearização). Isso significa que a variação aproximada \Delta P é dada pela soma das contribuições lineares de cada variável, isto é:
dP \approx \frac{\partial P}{\partial E}\,dE + \frac{\partial P}{\partial R}\,dR.
Aqui:
  • dP é a variação aproximada da potência (que usaremos como \Delta P),
  • \dfrac{\partial P}{\partial E} é a derivada parcial de P em relação a E (quanto P muda por unidade de E, mantendo R fixo),
  • \dfrac{\partial P}{\partial R} é a derivada parcial de P em relação a R (quanto P muda por unidade de R, mantendo E fixo),
  • dE e dR são as pequenas variações dadas ( dE=\Delta E, dR=\Delta R).
Explicando de forma concreta: calcular as derivadas parciais nos diz a sensibilidade de P a mudanças em E e em R; multiplicamos cada sensibilidade pela variação nessa variável e somamos.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais a partir de P=\dfrac{E^{2}}{R}=E^{2}R^{-1}.
Derivando em relação a E (tratando R como constante):
\frac{\partial P}{\partial E}=\frac{\partial}{\partial E}\big(E^{2}R^{-1}\big)=2E\cdot R^{-1}=\frac{2E}{R}.
Derivando em relação a R (tratando E como constante):
\frac{\partial P}{\partial R}=\frac{\partial}{\partial R}\big(E^{2}R^{-1}\big)=E^{2}\cdot(-1)R^{-2}=-\frac{E^{2}}{R^{2}}.
Observação prática: a primeira derivada diz que aumentar E aumenta P (proporcional a E); a segunda diz que aumentar R diminui P (sinal negativo).

Passo 4

Avaliar as derivadas no ponto dado (E=100,R=5).
Calcular \dfrac{\partial P}{\partial E} em (100,5):
\frac{\partial P}{\partial E}\Big|_{(100,5)}=\frac{2\cdot100}{5}=\frac{200}{5}=40.
Unidade: watts por volt (W/V).
Calcular \dfrac{\partial P}{\partial R} em (100,5):
\frac{\partial P}{\partial R}\Big|_{(100,5)}=-\frac{100^{2}}{5^{2}}=-\frac{10000}{25}=-400.
Unidade: watts por ohm (W/Ω).

Passo 5

Multiplicar cada sensibilidade pela variação correspondente e somar (fórmula da linearização):
dP \approx \frac{\partial P}{\partial E}\,dE + \frac{\partial P}{\partial R}\,dR.
Substituindo números ( dE=\Delta E=-2, dR=\Delta R=0,3):
dP \approx 40\cdot(-2) + (-400)\cdot(0,3).
Calcular cada termo:
40\cdot(-2)=-80, \qquad (-400)\cdot(0,3)=-120.
Somando:
dP \approx -80 + (-120) = -200.
Interpretação: a potência varia aproximadamente -200 watts, ou seja, diminui cerca de 200 watts.

Passo 6

Verificação rápida (opcional, para ver quão boa é a aproximação):
  • Potência inicial: P_{0}=\dfrac{100^{2}}{5}=\dfrac{10000}{5}=2000 W.
  • Aproximação dá P_{\text{aprox}}=P_{0}+dP=2000-200=1800 W.
  • Valor exato com E=98 e R=5,3:
P_{\text{exato}}=\frac{98^{2}}{5,3}=\frac{9604}{5,3}\approx 1812{,}08\\ \text{W}.
Variação exata: 1812{,}08-2000\approx -187{,}92 W. A aproximação por diferenciais deu -200 W, bem próxima (erro ≈ 12 W, ~6,4%).

Resposta

\Delta P\approx -200\\ \text{W}

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