A potência P consumida por uma resistência elétrica é dada por P=E^{2} / R watts, onde E é a força eletromotriz em volts e R é a resistência em ohms. Se em um dado instante, tem-se E=100 volts e R=5 ohms. Aproximadamente quanto irá variar a potência se E decrescer de 2 volts e R crescer de 0,3 ohms?
Passo 1
O enunciado fornece e pede o seguinte (vou listar exatamente os dados que temos):
A fórmula da potência: P=\dfrac{E^{2}}{R} (em watts).
Valores no instante considerado: E=100 volts e R=5 ohms.
Variações pequenas: E decresce de 2 volts, ou seja \Delta E=-2; R cresce de 0,3 ohms, ou seja \Delta R=0,3.
Pergunta: aproximadamente quanto varia a potência P devido a essas pequenas variações de E e R? (Queremos \Delta P aproximado.)
Passo 2
Ideia da aproximação (explicação didática): quando as variações em E e R são pequenas, dá para aproximar a mudança de P por uma aproximação linear (a chamada diferencial ou linearização). Isso significa que a variação aproximada \Delta P é dada pela soma das contribuições lineares de cada variável, isto é:
dP é a variação aproximada da potência (que usaremos como \Delta P),
\dfrac{\partial P}{\partial E} é a derivada parcial de P em relação a E (quanto P muda por unidade de E, mantendo R fixo),
\dfrac{\partial P}{\partial R} é a derivada parcial de P em relação a R (quanto P muda por unidade de R, mantendo E fixo),
dE e dR são as pequenas variações dadas (dE=\Delta E, dR=\Delta R).
Explicando de forma concreta: calcular as derivadas parciais nos diz a sensibilidade de P a mudanças em E e em R; multiplicamos cada sensibilidade pela variação nessa variável e somamos.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais a partir de P=\dfrac{E^{2}}{R}=E^{2}R^{-1}.
Derivando em relação a E (tratando R como constante):