Considere que y seja dada implicitamente como uma função diferenciável das demais variáveis das equações. Encontre o valor das derivadas parciais indicadas quando as variáveis tem os valores dados
Se x y^{2} z-3 x^{2} y z+\frac{2 x z}{y}-z^{2}=0, ache \frac{\partial y}{\partial x} e \frac{\partial y}{\partial z}, quando x=1, z=-1 e y=2.

Passo 1

O enunciado dá a relação implícita
x y^{2} z-3 x^{2} y z+\frac{2 x z}{y}-z^{2}=0,
onde y é considerada uma função diferenciável de x e z. Pede-se encontrar as derivadas parciais \dfrac{\partial y}{\partial x} e \dfrac{\partial y}{\partial z} no ponto \(x=1,\;z=-1,\;y=2).
Informações relevantes:
  • A equação implícita é \displaystyle F(x,y,z)=x y^{2} z-3 x^{2} y z+\frac{2 x z}{y}-z^{2}=0.
  • Queremos \displaystyle \frac{\partial y}{\partial x} e \displaystyle \frac{\partial y}{\partial z} avaliadas em \(x=1,\;y=2,\;z=-1).

Passo 2

Idéia e fórmula que vamos usar (explicando passo a passo):
  • Seja \displaystyle F(x,y,z)=0 com y=y(x,z). Diferenciando parcialmente em relação a x (mantendo z constante) e aplicando a regra da cadeia obtemos
\frac{\partial F}{\partial x}+ \frac{\partial F}{\partial y}\,\frac{\partial y}{\partial x}=0.
Isto vem porque ao derivar F(x,y(x,z),z) em relação a x aparece a derivada direta em x mais a contribuição de y via \partial F/\partial y vezes y_x.
  • Portanto isolamos \displaystyle \frac{\partial y}{\partial x}:
\frac{\partial y}{\partial x} = -\frac{\,\dfrac{\partial F}{\partial x}\,}{\dfrac{\partial F}{\partial y}}.
  • Analogamente, diferenciando F=0 em relação a z (agora x fixo) obtemos
\frac{\partial F}{\partial z}+ \frac{\partial F}{\partial y}\,\frac{\partial y}{\partial z}=0,
logo
\frac{\partial y}{\partial z} = -\frac{\,\dfrac{\partial F}{\partial z}\,}{\dfrac{\partial F}{\partial y}}.
Essas fórmulas são padrão para funções implícitas: a razão negativa entre a derivada parcial de F na variável que diferenciou e a derivada parcial de F em relação a y.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de F em termos de x,y,z. Começando por
F(x,y,z)=x y^{2} z-3 x^{2} y z+\frac{2 x z}{y}-z^{2}.
Derivada parcial em relação a x (tratando y e z como independentes):
  • \displaystyle \frac{\partial}{\partial x}(x y^{2} z)=y^{2} z (derivada de x é 1, multiplicando o resto),
  • \displaystyle \frac{\partial}{\partial x}(-3 x^{2} y z)=-6 x y z,
  • \displaystyle \frac{\partial}{\partial x}\!\left(\frac{2 x z}{y}\right)=\frac{2 z}{y},
  • \displaystyle \frac{\partial}{\partial x}(-z^{2})=0.
Portanto
\frac{\partial F}{\partial x}=y^{2} z-6 x y z+\frac{2 z}{y}.
Derivada parcial em relação a y:
  • \displaystyle \frac{\partial}{\partial y}(x y^{2} z)=2 x y z,
  • \displaystyle \frac{\partial}{\partial y}(-3 x^{2} y z)=-3 x^{2} z,
  • \displaystyle \frac{\partial}{\partial y}\!\left(\frac{2 x z}{y}\right)=\frac{2 x z}{\,}\cdot\frac{d}{dy}\left(y^{-1}\right)=-\frac{2 x z}{y^{2}},
  • \displaystyle \frac{\partial}{\partial y}(-z^{2})=0.
Logo
\frac{\partial F}{\partial y}=2 x y z-3 x^{2} z-\frac{2 x z}{y^{2}}.
Derivada parcial em relação a z:
  • \displaystyle \frac{\partial}{\partial z}(x y^{2} z)=x y^{2},
  • \displaystyle \frac{\partial}{\partial z}(-3 x^{2} y z)=-3 x^{2} y,
  • \displaystyle \frac{\partial}{\partial z}\!\left(\frac{2 x z}{y}\right)=\frac{2 x}{y},
  • \displaystyle \frac{\partial}{\partial z}(-z^{2})=-2 z.
Portanto
\frac{\partial F}{\partial z}=x y^{2}-3 x^{2} y+\frac{2 x}{y}-2 z.

Passo 4

Agora avaliamos essas expressões no ponto dado \(x=1,\;y=2,\;z=-1).
Calcular \displaystyle \frac{\partial F}{\partial x} no ponto:
\frac{\partial F}{\partial x}\Big|_{(1,2,-1)} = y^{2} z-6 x y z+\frac{2 z}{y} = (2^{2})(-1)-6(1)(2)(-1)+\frac{2(-1)}{2}.
Fazendo as contas:
(4)(-1)=-4,\qquad -6\cdot1\cdot2\cdot(-1)=+12,\qquad \frac{2(-1)}{2}=-1.
Somando: -4+12-1=7. Logo
\frac{\partial F}{\partial x}\Big|_{(1,2,-1)}=7.
Calcular \displaystyle \frac{\partial F}{\partial y} no ponto:
\frac{\partial F}{\partial y}\Big|_{(1,2,-1)} =2 x y z-3 x^{2} z-\frac{2 x z}{y^{2}} =2\cdot1\cdot2\cdot(-1)-3\cdot1^{2}\cdot(-1)-\frac{2\cdot1\cdot(-1)}{2^{2}}.
Fazendo as contas:
2\cdot1\cdot2\cdot(-1)=-4,\qquad -3\cdot1\cdot(-1)=+3,\qquad -\frac{2\cdot(-1)}{4}=+\frac{1}{2}.
Somando: -4+3+\tfrac{1}{2}=-1+\tfrac{1}{2}=-\tfrac{1}{2}. Logo
\frac{\partial F}{\partial y}\Big|_{(1,2,-1)}=-\tfrac{1}{2}.
Calcular \displaystyle \frac{\partial F}{\partial z} no ponto:
\frac{\partial F}{\partial z}\Big|_{(1,2,-1)} = x y^{2}-3 x^{2} y+\frac{2 x}{y}-2 z =1\cdot2^{2}-3\cdot1^{2}\cdot2+\frac{2\cdot1}{2}-2(-1).
Fazendo as contas:
1\cdot4=4,\qquad -3\cdot2=-6,\qquad \frac{2}{2}=1,\qquad -2(-1)=+2.
Somando: 4-6+1+2=1. Logo
\frac{\partial F}{\partial z}\Big|_{(1,2,-1)}=1.

Passo 5

Agora aplicamos as fórmulas obtidas no Passo 2:
\frac{\partial y}{\partial x}=-\frac{\dfrac{\partial F}{\partial x}}{\dfrac{\partial F}{\partial y}} \quad\text{e}\quad \frac{\partial y}{\partial z}=-\frac{\dfrac{\partial F}{\partial z}}{\dfrac{\partial F}{\partial y}}.
Substituindo os valores numéricos:
  • Como \dfrac{\partial F}{\partial x}\Big|_{(1,2,-1)}=7 e \dfrac{\partial F}{\partial y}\Big|_{(1,2,-1)}=-\tfrac{1}{2}, temos
\frac{\partial y}{\partial x}\Big|_{(1,2,-1)} = -\frac{7}{-\tfrac{1}{2}} = 7\cdot 2 = 14.
  • Como \dfrac{\partial F}{\partial z}\Big|_{(1,2,-1)}=1 e \dfrac{\partial F}{\partial y}\Big|_{(1,2,-1)}=-\tfrac{1}{2}, temos
\frac{\partial y}{\partial z}\Big|_{(1,2,-1)} = -\frac{1}{-\tfrac{1}{2}} = 2.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial y}{\partial x}\Big|_{(1,2,-1)}=14
\displaystyle \frac{\partial y}{\partial z}\Big|_{(1,2,-1)}=2

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