Considere que y seja dada implicitamente como uma função diferenciável das demais variáveis das equações. Encontre o valor das derivadas parciais indicadas quando as variáveis tem os valores dados
Se x y^{2} z-3 x^{2} y z+\frac{2 x z}{y}-z^{2}=0, ache \frac{\partial y}{\partial x} e \frac{\partial y}{\partial z}, quando x=1, z=-1 e y=2.
Passo 1
O enunciado dá a relação implícita
x y^{2} z-3 x^{2} y z+\frac{2 x z}{y}-z^{2}=0,
onde y é considerada uma função diferenciável de x e z. Pede-se encontrar as derivadas parciais \dfrac{\partial y}{\partial x} e \dfrac{\partial y}{\partial z} no ponto \(x=1,\;z=-1,\;y=2).
Informações relevantes:
A equação implícita é \displaystyle F(x,y,z)=x y^{2} z-3 x^{2} y z+\frac{2 x z}{y}-z^{2}=0.
Queremos \displaystyle \frac{\partial y}{\partial x} e \displaystyle \frac{\partial y}{\partial z} avaliadas em \(x=1,\;y=2,\;z=-1).
Passo 2
Idéia e fórmula que vamos usar (explicando passo a passo):
Seja \displaystyle F(x,y,z)=0 com y=y(x,z). Diferenciando parcialmente em relação a x (mantendo z constante) e aplicando a regra da cadeia obtemos
Essas fórmulas são padrão para funções implícitas: a razão negativa entre a derivada parcial de F na variável que diferenciou e a derivada parcial de F em relação a y.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de F em termos de x,y,z. Começando por
F(x,y,z)=x y^{2} z-3 x^{2} y z+\frac{2 x z}{y}-z^{2}.
Derivada parcial em relação a x (tratando y e z como independentes):
\displaystyle \frac{\partial}{\partial x}(x y^{2} z)=y^{2} z (derivada de x é 1, multiplicando o resto),
\displaystyle \frac{\partial}{\partial x}(-3 x^{2} y z)=-6 x y z,
\displaystyle \frac{\partial}{\partial x}\!\left(\frac{2 x z}{y}\right)=\frac{2 z}{y},
Calcular \displaystyle \frac{\partial F}{\partial y} no ponto:
\frac{\partial F}{\partial y}\Big|_{(1,2,-1)} =2 x y z-3 x^{2} z-\frac{2 x z}{y^{2}} =2\cdot1\cdot2\cdot(-1)-3\cdot1^{2}\cdot(-1)-\frac{2\cdot1\cdot(-1)}{2^{2}}.