Nos problemas abaixo encontre (a) o gradiente nabla z de cada campo escalar; (b) o valor do gradiente no ponto nabla z\left(x_{0}, y_{0}\right) (c) e a Derivada direcional D_{u} z em ( x_{0}, y_{0} ) na direção do vetor unitário vec{u}
z=7 x-3 y+4,\left(x_{0}, y_{0}\right)=(1,1), \vec{u}=\frac{\sqrt{3}}{2} i+\frac{1}{2} j

Passo 1

O enunciado pede três coisas para o campo escalar z:
  • (a) o gradiente \nabla z do campo escalar;
  • (b) o valor do gradiente no ponto \nabla z\left(x_{0},y_{0}\right) com \left(x_{0},y_{0}\right)=(1,1);
  • (c) a derivada direcional D_{u}z em \left(x_{0},y_{0}\right) na direção do vetor unitário \vec{u}.
Os dados fornecidos pelo enunciado são:
  • a função z(x,y)=7x-3y+4;
  • o ponto \left(x_{0},y_{0}\right)=(1,1) (tudo em \mathbb{R}^2);
  • o vetor direção \displaystyle \vec{u}=\frac{\sqrt{3}}{2}\,\mathbf{i}+\frac{1}{2}\,\mathbf{j}.
Nada mais foi pedido. A partir daqui vamos calcular passo a passo.

Passo 2

O que é o gradiente e como calculá-lo (aula rápida e prática).
  • O gradiente de uma função escalar z(x,y) é o vetor formado pelas derivadas parciais em relação às variáveis. Ele aponta na direção de crescimento máximo de z e sua magnitude é a taxa de variação máxima por unidade de comprimento.
  • Fórmula: \nabla z(x,y)=\left(\frac{\partial z}{\partial x},\;\frac{\partial z}{\partial y}\right).
Aqui \frac{\partial z}{\partial x} significa a derivada de z tratando y como constante; e \frac{\partial z}{\partial y} significa a derivada de z tratando x como constante.
Agora aplicando isso a z(x,y)=7x-3y+4:
  • Calcular \dfrac{\partial z}{\partial x}: como z é linear em x, a derivada em relação a x é o coeficiente de x. Logo \frac{\partial z}{\partial x}=7.
  • Calcular \dfrac{\partial z}{\partial y}: análogo, a derivada em relação a y é o coeficiente de y. Logo \frac{\partial z}{\partial y}=-3.

Passo 3

Montagem do gradiente com os componentes encontrados.
  • Substituindo as derivadas parciais na fórmula do gradiente obtemos:
\nabla z(x,y)=\left(7,-3\right).
Observação importante (útil na prova): como as derivadas são constantes (não dependem de x nem de y), o gradiente é o mesmo em qualquer ponto do plano — ou seja, \nabla z é um vetor constante.

Passo 4

Avaliação do gradiente no ponto \left(x_{0},y_{0}\right)=(1,1).
  • Já que \nabla z(x,y)=(7,-3) é constante, então
\nabla z(1,1)=(7,-3).
Explicação amistosa: mesmo que fosse pedido um ponto diferente, o resultado continuaria o mesmo porque a função é linear e suas derivadas parciais não mudam de valor.

Passo 5

Derivada direcional: definição, condição do vetor e cálculo.
  • Definição: a derivada direcional de z em \left(x_{0},y_{0}\right) na direção do vetor unitário \vec{u} é o produto escalar entre o gradiente no ponto e \vec{u}:
D_{u}z\left(x_{0},y_{0}\right)=\nabla z\left(x_{0},y_{0}\right)\cdot\vec{u}.
Aqui o produto escalar de dois vetores (a,b) e (c,d) é a c + b d.
  • Verificação rápida de que \vec{u} é unitário (importante na definição): calcular a norma de \vec{u}.
\|\vec{u}\|=\sqrt{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}} =\sqrt{\frac{3}{4}+\frac{1}{4}}=\sqrt{1}=1.
Portanto \vec{u} é realmente um vetor unitário — ótimo, podemos usar diretamente a fórmula.
  • Cálculo do produto escalar usando \nabla z(1,1)=(7,-3) e \displaystyle \vec{u}=\left(\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2}\right):
D_{u}z(1,1)= (7,-3)\cdot\left(\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2}\right) =7\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}+(-3)\cdot\frac{1}{2}.
  • Simplificando:
D_{u}z(1,1)=\frac{7\sqrt{3}}{2}-\frac{3}{2}=\frac{7\sqrt{3}-3}{2}.
Interpretação curta e amigável: esse número diz a taxa de variação de z no ponto (1,1) quando se anda numa direção unitária que faz com os eixos os ângulos dados pelos componentes de \vec{u}. Como \nabla z é constante, essa taxa é a mesma em qualquer ponto.

Resposta

(a) \nabla z=(7,-3)
(b) \nabla z(1,1)=(7,-3)
(c) D_{u}z(1,1)=\dfrac{7\sqrt{3}-3}{2}

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