considere z=f(x, y), com
f(x, y)=\frac{x-y}{x+y}
a) Calcule \nabla f
b) Determine, se existir, o plano tangente ao gráfico de f no ponto P(1,0,1)).

Passo 1

O enunciado nos dá a função \;z=f(x,y)\; com
f(x,y)=\frac{x-y}{x+y}.
As perguntas são:
a) Calcular \nabla f (ou seja, as derivadas parciais \dfrac{\partial f}{\partial x} e \dfrac{\partial f}{\partial y} e montar o vetor gradiente).
b) Determinar, se existir, o plano tangente ao gráfico de f no ponto P(1,0,1).
Informações relevantes fornecidas:
  • A função explícita \;f(x,y)=\dfrac{x-y}{x+y}\;.
  • O ponto em que se pede o plano tangente: P\bigl(1,0,1\bigr). (Observação: deve-se verificar que P pertence ao gráfico, i.e., que f(1,0)=1.)

Passo 2

O que é necessário para responder (a) e (b).
  • Para (a): calcular as derivadas parciais. A derivada parcial \dfrac{\partial f}{\partial x} mede a taxa de variação de f quando só x varia e y fica fixo; \dfrac{\partial f}{\partial y} mede a taxa de variação quando só y varia e x fica fixo. O gradiente é o vetor
\nabla f(x,y)=\left(\dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y),\;\dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y)\right).
  • Para funções dadas por quociente \;f=\dfrac{u}{v}\; (com u e v dependendo de x,y), usa-se a regra do quociente para derivadas parciais:
\dfrac{\partial}{\partial x}\!\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u_x v - u v_x}{v^2}, \qquad \dfrac{\partial}{\partial y}\!\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u_y v - u v_y}{v^2},
onde u_x=\dfrac{\partial u}{\partial x}, v_x=\dfrac{\partial v}{\partial x}, etc. Vou aplicar essa regra com u(x,y)=x-y e v(x,y)=x+y.

Passo 3

Calcular \dfrac{\partial f}{\partial x} passo a passo.
Defina u(x,y)=x-y e v(x,y)=x+y. Então
u_x=\dfrac{\partial}{\partial x}(x-y)=1, \qquad v_x=\dfrac{\partial}{\partial x}(x+y)=1.
Aplicando a regra do quociente:
\dfrac{\partial f}{\partial x} = \frac{u_x v - u v_x}{v^2} = \frac{1\cdot (x+y) - (x-y)\cdot 1}{(x+y)^2}.
Agora simplificar o numerador:
1\cdot(x+y) - (x-y) = (x+y) - x + y = 2y.
Portanto
\dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\frac{2y}{(x+y)^2}.

Passo 4

Calcular \dfrac{\partial f}{\partial y} passo a passo.
Usando u(x,y)=x-y e v(x,y)=x+y novamente:
u_y=\dfrac{\partial}{\partial y}(x-y)=-1, \qquad v_y=\dfrac{\partial}{\partial y}(x+y)=1.
Aplicando a regra do quociente:
\dfrac{\partial f}{\partial y} = \frac{u_y v - u v_y}{v^2} = \frac{(-1)\cdot (x+y) - (x-y)\cdot 1}{(x+y)^2}.
Simplificando o numerador:
-(x+y) - (x-y) = -x - y - x + y = -2x.
Portanto
\dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\frac{-2x}{(x+y)^2}.

Passo 5

Montar o gradiente e interpretar.
Reunindo as componentes:
\nabla f(x,y)=\left(\dfrac{2y}{(x+y)^2},\; -\dfrac{2x}{(x+y)^2}\right).
Interpretação rápida: esse vetor indica a direção de crescimento máximo de f no plano (x,y) e suas componentes são as taxas parciais calculadas.

Passo 6

Avaliar o gradiente no ponto dado e verificar que P pertence ao gráfico.
Primeiro verificar f(1,0):
f(1,0)=\frac{1-0}{1+0}=1,
logo o ponto P(1,0,1) realmente está no gráfico.
Agora avaliar as derivadas em (1,0):
\dfrac{\partial f}{\partial x}(1,0)=\frac{2\cdot 0}{(1+0)^2}=0, \qquad \dfrac{\partial f}{\partial y}(1,0)=\frac{-2\cdot 1}{(1+0)^2}=-2.
Portanto
\nabla f(1,0)=\bigl(0,\,-2\bigr).

Passo 7

Determinar o plano tangente ao gráfico em P.
Teoria rápida (fórmula do plano tangente): para z=f(x,y) diferenciável em (x_0,y_0), o plano tangente no ponto \bigl(x_0,y_0,f(x_0,y_0)\bigr) é dado por
z - f(x_0,y_0) = f_x(x_0,y_0)\,(x - x_0) + f_y(x_0,y_0)\,(y - y_0).
Aqui (x_0,y_0)=(1,0) e f_x(1,0)=0,\;f_y(1,0)=-2,\;f(1,0)=1. Substituindo na fórmula:
z - 1 = 0\cdot (x-1) + (-2)\cdot (y-0).
Simplificando:
z - 1 = -2y \quad\Longrightarrow\quad z = 1 - 2y.
Esse é o plano tangente procurado. É uma superfície plana em \mathbb{R}^3 que aproxima linearmente o gráfico de f perto de P.

Resposta

a) \displaystyle \nabla f(x,y)=\left(\frac{2y}{(x+y)^2},\;-\frac{2x}{(x+y)^2}\right)
b) \displaystyle z=1-2y

Exercícios relacionados