considere
, com
a) Calcule
b) Determine, se existir, o plano tangente ao gráfico de
no ponto
.
b) Determine, se existir, o plano tangente ao gráfico de
Passo 1
O enunciado nos dá a função
com
As perguntas são:
a) Calcular (ou seja, as derivadas parciais
e
e montar o vetor gradiente).
b) Determinar, se existir, o plano tangente ao gráfico de no ponto
.
a) Calcular
b) Determinar, se existir, o plano tangente ao gráfico de
Informações relevantes fornecidas:
- A função explícita
. - O ponto em que se pede o plano tangente:
. (Observação: deve-se verificar que pertence ao gráfico, i.e., que .)
Passo 2
O que é necessário para responder (a) e (b).
- Para (a): calcular as derivadas parciais. A derivada parcial
mede a taxa de variação de quando só varia e fica fixo; mede a taxa de variação quando só varia e fica fixo. O gradiente é o vetor
- Para funções dadas por quociente
(com e dependendo de ), usa-se a regra do quociente para derivadas parciais:
onde
,
, etc. Vou aplicar essa regra com
e
.
Passo 3
Calcular
passo a passo.
Defina
e
. Então
Aplicando a regra do quociente:
Agora simplificar o numerador:
Portanto
Passo 4
Calcular
passo a passo.
Usando
e
novamente:
Aplicando a regra do quociente:
Simplificando o numerador:
Portanto
Passo 5
Montar o gradiente e interpretar.
Reunindo as componentes:
Interpretação rápida: esse vetor indica a direção de crescimento máximo de
no plano
e suas componentes são as taxas parciais calculadas.
Passo 6
Avaliar o gradiente no ponto dado e verificar que
pertence ao gráfico.
Primeiro verificar
:
logo o ponto
realmente está no gráfico.
Agora avaliar as derivadas em
:
Portanto
Passo 7
Determinar o plano tangente ao gráfico em
.
Teoria rápida (fórmula do plano tangente): para
diferenciável em
, o plano tangente no ponto
é dado por
Aqui
e
. Substituindo na fórmula:
Simplificando:
Esse é o plano tangente procurado. É uma superfície plana em
que aproxima linearmente o gráfico de
perto de
.
Resposta
a)
b)