a) A função f é diferenciável no ponto ( 0,0 )? (Justifique!)
b) Seja h(u, v)=f(x(u, v), y(u, v)), com
x(u, v)=u+1 \quad \text { e } \quad y(u, v)=v+1
Determine, usando a regra da cadeia, \frac{\partial h}{\partial u} e \frac{\partial h}{\partial v}.
Passo 1
O enunciado dá a função f de duas variáveis
f(x,y)=\frac{x-y}{x+y}
e pede duas coisas:
(a) verificar se f é diferenciável no ponto (0,0) e justificar;
(b) definir h(u,v)=f(x(u,v),y(u,v)) com
x(u,v)=u+1,\qquad y(u,v)=v+1,
e, usando a regra da cadeia, calcular \dfrac{\partial h}{\partial u} e \dfrac{\partial h}{\partial v}.
Informações relevantes dadas:
A fórmula explícita de f(x,y).
As transformações x(u,v) e y(u,v) para construir h.
Passo 2
Análise da definição e continuidade em (0,0) (parte (a)).
Primeiro passo lógico: observar o domínio de f. A expressão \dfrac{x-y}{x+y} tem denominador x+y, então f só está definida quando x+y\neq 0. Em particular, em (0,0) temos x+y=0, então f(0,0) NÃO está definida.
Lembrete didático rápido: para uma função ser diferenciável em um ponto é necessário, entre outras coisas, que ela esteja definida e contínua nesse ponto; se nem está definida, não pode ser diferenciável ali.
Para deixar a ideia mais clara (mesmo que já baste o domínio), vamos verificar os limites ao aproximar (0,0) por caminhos simples:
Ao aproximar por pontos da forma (x,0) com x\to0 e x\neq0, temos
f(x,0)=\frac{x-0}{x+0}=1,portanto o limite ao longo do eixo y=0 é 1.
Ao aproximar por pontos da forma (0,y) com y\to0 e y\neq0, temos
f(0,y)=\frac{0-y}{0+y}=-1,portanto o limite ao longo do eixo x=0 é -1.
Como esses dois limites (por caminhos diferentes) são distintos, a função não tem limite único quando (x,y)\to(0,0). Isso mostra também que, mesmo se alguém tentasse definir arbitrariamente um valor em (0,0), a função estendida não seria contínua ali.
Conclusão intermediária: f não está definida em (0,0) e os limites por caminhos diferentes dão valores distintos (1 e -1), então f não é contínua em (0,0) e, portanto, não é diferenciável em (0,0).
Passo 3
Preparação para aplicar a regra da cadeia (parte (b)): cálculo das derivadas parciais de f em termos de x,y (onde x+y\neq0).
Vamos calcular \dfrac{\partial f}{\partial x} e \dfrac{\partial f}{\partial y} usando a regra do quociente. Se chamarmos numerador N(x,y)=x-y e denominador D(x,y)=x+y, entãof(x,y)=\frac{N(x,y)}{D(x,y)}.
Regra do quociente (lembrando): para uma função g(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)} vale g'(x)=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}. Aqui aplicamos com derivadas parciais, tratando y como constante ao derivar em relação a x, e vice-versa.
Verificação rápida por diferenciação direta (cheque didático).
Observação prática: podemos também escrever explicitamenteh(u,v)=f(u+1,v+1)=\frac{(u+1)-(v+1)}{(u+1)+(v+1)}=\frac{u-v}{u+v+2},e diferenciar diretamente:
\dfrac{\partial}{\partial u}\left(\dfrac{u-v}{u+v+2}\right) usando quociente dá exatamente \dfrac{2(v+1)}{(u+v+2)^2}.
\dfrac{\partial}{\partial v}\left(\dfrac{u-v}{u+v+2}\right) dá exatamente -\dfrac{2(u+1)}{(u+v+2)^2}.
Isso confirma que a aplicação da regra da cadeia feita acima está coerente.
Resposta
a) Não. f não é diferenciável em (0,0) (não está definida em (0,0) e os limites por caminhos diferentes, por exemplo y=0 e x=0, dão 1 e -1, respectivamente). \displaystyle \frac{\partial h}{\partial u}=\frac{2(v+1)}{(u+v+2)^2} \displaystyle \frac{\partial h}{\partial v}=-\frac{2(u+1)}{(u+v+2)^2}