Sejam z=-3+4 i e w=a+b i tais que z w=-14+2 i. Determine |w|.
Escolha uma opção:
◯ a. 2 \sqrt{2}
◯ b. 10
◯ C. 5 \sqrt{2}
◯ d. 10 \sqrt{2}
◯ e. 5

Passo 1

O enunciado dá as informações:
  • z = -3 + 4 i.
  • w = a + b i (valores a,b desconhecidos).
  • O produto z w = -14 + 2 i.
    O que se pede:
  • Determinar o valor de |w| (o módulo de w).

Passo 2

Fato útil (e muito prático): para números complexos vale a propriedade
\left|z w\right| = \left|z\right|\left|w\right|.
Explicando por que isso é verdade, passo a passo:
  • Para qualquer número complexo u tem-se \left|u\right|^2 = u\,\overline{u}, onde \overline{u} é o conjugado de u.
  • Aplicando isso a zw:
\left|zw\right|^2 = (zw)\,\overline{(zw)} = zw\,\overline{z}\,\overline{w} = (z\overline{z})(w\overline{w}) = \left|z\right|^2\left|w\right|^2.
  • Tomando raiz quadrada e lembrando que módulos são não negativos, obtemos \left|zw\right|=\left|z\right|\left|w\right|.
    Aqui as variáveis significam: z e w são números complexos quaisquer; \overline{z} é o conjugado de z; \left|z\right| é o módulo de z.

Passo 3

Calcular \left|z\right|. Para z = -3 + 4 i a fórmula do módulo é
\left|z\right| = \sqrt{(-3)^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5.
(Interpretação: o módulo é a distância do ponto (-3,4) até a origem no plano complexo.)

Passo 4

Calcular \left|zw\right|. Como zw = -14 + 2 i,
\left|zw\right| = \sqrt{(-14)^2 + 2^2} = \sqrt{196 + 4} = \sqrt{200} = 10\sqrt{2}.

Passo 5

Usar a propriedade multiplicativa do módulo para obter \left|w\right|:
\left|w\right| = \frac{\left|zw\right|}{\left|z\right|} = \frac{10\sqrt{2}}{5} = 2\sqrt{2}.

Passo 6

Verificação alternativa (opcional, só para confirmar): calcular w diretamente dividindo zw por z:
w=\frac{-14+2i}{-3+4i}\cdot\frac{-3-4i}{-3-4i}=\frac{(-14+2i)(-3-4i)}{(-3)^2+4^2}=\frac{50+50i}{25}=2+2i.
Então \left|w\right|=\sqrt{2^2+2^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}, que confirma o resultado.

Resposta

a. 2\sqrt{2}

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