Calcule
, sendo
igual a
sen
Passo 1
O enunciado dá uma sequência e pede seu limite quando
tende a infinito. Especificamente:
- A sequência é
. - O que se pede: calcular
.
Passo 2
Fazemos a mudança de variável que simplifica a expressão: defina
. Quando
temos
. Em termos de
,
Logo
Portanto basta calcular
.
Passo 3
Vamos estudar a função
quando
se aproxima de
. Um resultado clássico (muito usado em provas) é
Vou provar isso de forma elementar usando uma desigualdade geométrica (teorema do sanduíche / squeeze).
Passo 4
Prova da desigualdade que leva ao limite (válida para
) — ideia geométrica:
- Considere o círculo de raio
centrado na origem e o setor circular de ângulo (em radianos). - A área do triângulo inscrito (base igual ao segmento que liga os pontos na circunferência) é
. - A área do setor é
. - A área do triângulo formado pela tangente externa ao círculo é
.
Dessas três áreas vem a desigualdade
Multiplicando por
e lembrando que
, obtemos
Dividindo todos os termos por
dá
Tomando recíprocos (inversos) e lembrando que inverter preserva a ordem porque todos os termos são positivos, temos
Passo 5
Agora aplicamos o teorema do sanduíche (squeeze): como
para
próximo de
(positivos) e sabemos que
pelo squeeze segue que
Portanto, voltando à sequência,
Passo 6
Observação alternativa (opcional): se já souber usar cálculo, aplica-se L’Hôpital à
e obtém-se
. É só para quem já domina derivadas; a prova geométrica anterior não precisa de derivadas.