Calcule \lim _{n \rightarrow+\infty} x_{n}, sendo x_{n} igual a n sen \frac{1}{n}

Passo 1

O enunciado dá uma sequência e pede seu limite quando n tende a infinito. Especificamente:
  • A sequência é x_{n}=n\sin\!\left(\dfrac{1}{n}\right).
  • O que se pede: calcular \displaystyle\lim_{n\to+\infty} x_{n}.

Passo 2

Fazemos a mudança de variável que simplifica a expressão: defina t=\dfrac{1}{n}. Quando n\to+\infty temos t\to 0^{+}. Em termos de t,
x_{n}=n\sin\!\left(\frac{1}{n}\right)=\frac{\sin t}{t}.
Logo
\lim_{n\to+\infty} x_{n}=\lim_{t\to 0^{+}}\frac{\sin t}{t}.
Portanto basta calcular \lim_{t\to 0}\dfrac{\sin t}{t}.

Passo 3

Vamos estudar a função \dfrac{\sin t}{t} quando t se aproxima de 0. Um resultado clássico (muito usado em provas) é
\lim_{t\to 0}\frac{\sin t}{t}=1.
Vou provar isso de forma elementar usando uma desigualdade geométrica (teorema do sanduíche / squeeze).

Passo 4

Prova da desigualdade que leva ao limite (válida para 0<t<\dfrac{\pi}{2}) — ideia geométrica:
  • Considere o círculo de raio 1 centrado na origem e o setor circular de ângulo t (em radianos).
  • A área do triângulo inscrito (base igual ao segmento que liga os pontos na circunferência) é \dfrac{1}{2}\sin t.
  • A área do setor é \dfrac{1}{2}t.
  • A área do triângulo formado pela tangente externa ao círculo é \dfrac{1}{2}\tan t.
    Dessas três áreas vem a desigualdade
\frac{1}{2}\sin t<\frac{1}{2}t<\frac{1}{2}\tan t.
Multiplicando por 2 e lembrando que \tan t=\dfrac{\sin t}{\cos t}, obtemos
\sin t < t < \frac{\sin t}{\cos t}.
Dividindo todos os termos por \sin t>0
1 < \frac{t}{\sin t} < \frac{1}{\cos t}.
Tomando recíprocos (inversos) e lembrando que inverter preserva a ordem porque todos os termos são positivos, temos
\cos t < \frac{\sin t}{t} < 1.

Passo 5

Agora aplicamos o teorema do sanduíche (squeeze): como \cos t\le \dfrac{\sin t}{t}\le 1 para t próximo de 0 (positivos) e sabemos que
\lim_{t\to 0}\cos t = 1,
pelo squeeze segue que
\lim_{t\to 0}\frac{\sin t}{t}=1.
Portanto, voltando à sequência,
\lim_{n\to+\infty} x_{n}=\lim_{t\to 0^{+}}\frac{\sin t}{t}=1.

Passo 6

Observação alternativa (opcional): se já souber usar cálculo, aplica-se L’Hôpital à \displaystyle\lim_{t\to 0}\dfrac{\sin t}{t} e obtém-se \dfrac{\cos 0}{1}=1. É só para quem já domina derivadas; a prova geométrica anterior não precisa de derivadas.

Resposta

1

Exercícios relacionados