Considere z, w in C.
Para |z|<1 e |w|<1, use a ) para mostrar que |z-w1-barz w|<1.

Passo 1

A missão aqui é provar que, para dois complexos z e w com |z|<1 e |w|<1, vale
|z-w1-zw|<1
O conteúdo é manipular módulos de números complexos e usar a identidade obtida em (a). Vamos precisar de que, para qualquer complexo a, vale |a|^2=aa e das propriedades de conjugação.

Passo 2

Sabendo da parte (a), temos a identidade
|1-zw|^2 - |z-w|^2 = (1-|z|^2)(1-|w|^2)
Esse resultado sai de expandir |1-zw|^2=(1-zw)(1-zw) e |z-w|^2=(z-w)(z-w) e coletar termos.

Passo 3

Como |z|<1 e |w|<1, o produto (1-|z|^2)(1-|w|^2) é estritamente positivo. Logo
|1-zw|^2 - |z-w|^2 > 0
o que implica
|1-zw|^2 > |z-w|^2
e portanto
|1-zw| > |z-w|

Passo 4

Bastando dividir ambos os lados por |1-zw|, que é não nulo, obtemos
|z-w1-zw| < 1,
como queríamos demonstrar.

Resposta

|z-w1-zw|<1

Exercícios relacionados