Encontre a derivada das funções.
f(z)=e^z log (z)+senh(z)+cosh (z)+log (z^2+1)z^i.

Passo 1

O enunciado pede a derivada de f(z)=e^zlog(z)+senh(z)+cosh(z)+log(z^2+1)z^i. Vamos usar regras de derivação: produto, quociente, derivadas de exponencial, logaritmo, funções hiperbólicas e da potência com expoente complexo.

Passo 2

Para derivar o termo e^zlog(z), aplicamos a regra do produto: seja u(z)=e^z e v(z)=log(z). Então (uv)'=u'v+uv'. Como u'=e^z e v'=1/z, a derivada desse termo é
ddzl(e^zlog(z)r)=e^zlog(z)+e^zz

Passo 3

As derivadas das funções hiperbólicas são diretas:
ddzsenh(z)=cosh(z), ddzcosh(z)=senh(z)

Passo 4

Para o termo log(z^2+1)z^i, identificamos
g(z)=log(z^2+1) e h(z)=z^i e usamos a regra do quociente:
ddzl(ghr)=g'h-gh'h^2

Passo 5

Calculamos
g'(z)=2zz^2+1, h(z)=z^i=e^ilog(z), h'(z)=i,z^i-1
Assim o numerador é
2zz^2+1,z^i-log(z^2+1),i,z^i-1
e o denominador é z^2i.

Passo 6

Fatorando z^i-1 e dividindo por z^2i, obtemos
2z^2/(z^2+1)-ilog(z^2+1)z^i+1

Passo 7

Somando todos os termos, a derivada completa é dada por:

Resposta

f'(z)=e^zlog(z)+e^zz+cosh(z)+senh(z)+2z^2/(z^2+1)-ilog(z^2+1)z^i+1.

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