Encontre as partes real e imaginária das seguintes funções, em termos de x e y :
z+z^{-1}(z \neq 0);

Passo 1

O que o problema pede e o que já temos.
  • Precisa-se encontrar as partes real e imaginária de z+z^{-1}, com a condição z\neq0.
  • Vamos escrever z em coordenadas cartesianas: seja z=x+iy, onde x e y são números reais. Essas são as informações dadas.
  • O objetivo é expressar \Re\!\left(z+z^{-1}\right) e \Im\!\left(z+z^{-1}\right) em termos de x e y.

Passo 2

Conceito útil: conjugado e módulo ao calcular inverso.
  • O conjugado de z é \overline{z}=x-iy. O módulo ao quadrado é |z|^{2}=x^{2}+y^{2}.
  • Para z\neq0 vale a identidade
\frac{1}{z}=\frac{\overline{z}}{|z|^{2}}.
Isto vem do truque de multiplicar numerador e denominador por \overline{z}: \dfrac{1}{x+iy}=\dfrac{x-iy}{(x+iy)(x-iy)}=\dfrac{x-iy}{x^{2}+y^{2}}. Essa é a fórmula que vamos usar para escrever z^{-1} em termos de x e y.

Passo 3

Calcular explicitamente z^{-1}.
  • Aplicando a fórmula do passo anterior obtemos
z^{-1}=\frac{x-iy}{x^{2}+y^{2}}=\frac{x}{x^{2}+y^{2}}-i\frac{y}{x^{2}+y^{2}}.
Aqui já estão separadas a parte real e a parte imaginária de z^{-1}.

Passo 4

Somar z e z^{-1} e identificar as partes real e imaginária.
  • Escrevendo z como x+iy e somando com z^{-1} do passo anterior:
z+z^{-1}=\left(x+ \frac{x}{x^{2}+y^{2}}\right)+ i\left(y- \frac{y}{x^{2}+y^{2}}\right).
  • Assim a parte real é o coeficiente do termo sem i e a parte imaginária é o coeficiente do termo multiplicando i.

Passo 5

Simplificar as expressões (duas formas equivalentes).
  • Forma factorizada, mais compacta:
\Re\!\left(z+z^{-1}\right)=x\!\left(1+\frac{1}{x^{2}+y^{2}}\right), \qquad \Im\!\left(z+z^{-1}\right)=y\!\left(1-\frac{1}{x^{2}+y^{2}}\right).
  • Forma como uma única fração (às vezes mais conveniente):
\Re\!\left(z+z^{-1}\right)=\frac{x\bigl(x^{2}+y^{2}+1\bigr)}{x^{2}+y^{2}}, \qquad \Im\!\left(z+z^{-1}\right)=\frac{y\bigl(x^{2}+y^{2}-1\bigr)}{x^{2}+y^{2}}.
  • Lembrete prático: essas fórmulas exigem x^{2}+y^{2}\neq0, que é exatamente a condição z\neq0.

Passo 6

Exemplo rápido para conferir (opcional para testar na prova).
  • Se z=1+i então x=1, y=1, x^{2}+y^{2}=2. Usando a forma factorizada
\Re=1\left(1+\frac{1}{2}\right)=\frac{3}{2},\qquad \Im=1\left(1-\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2}.
  • Conferindo diretamente: z+z^{-1}=1+i+\dfrac{1-i}{2}=\dfrac{3}{2}+\dfrac{1}{2}i. Está coerente — bom sinal!

Resposta

\Re\!\left(z+z^{-1}\right)=x\!\left(1+\dfrac{1}{x^{2}+y^{2}}\right)
\Im\!\left(z+z^{-1}\right)=y\!\left(1-\dfrac{1}{x^{2}+y^{2}}\right)

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