Encontre as partes real e imaginária das seguintes funções, em termos de
e
:
;
Passo 1
O que o problema pede e o que já temos.
- Precisa-se encontrar as partes real e imaginária de
, com a condição . - Vamos escrever
em coordenadas cartesianas: seja , onde e são números reais. Essas são as informações dadas. - O objetivo é expressar
e em termos de e .
Passo 2
Conceito útil: conjugado e módulo ao calcular inverso.
- O conjugado de
é . O módulo ao quadrado é . - Para
vale a identidade
Isto vem do truque de multiplicar numerador e denominador por
:
. Essa é a fórmula que vamos usar para escrever
em termos de
e
.
Passo 3
Calcular explicitamente
.
- Aplicando a fórmula do passo anterior obtemos
Aqui já estão separadas a parte real e a parte imaginária de
.
Passo 4
Somar
e
e identificar as partes real e imaginária.
- Escrevendo
como e somando com do passo anterior:
- Assim a parte real é o coeficiente do termo sem
e a parte imaginária é o coeficiente do termo multiplicando .
Passo 5
Simplificar as expressões (duas formas equivalentes).
- Forma factorizada, mais compacta:
- Forma como uma única fração (às vezes mais conveniente):
- Lembrete prático: essas fórmulas exigem
, que é exatamente a condição .
Passo 6
Exemplo rápido para conferir (opcional para testar na prova).
- Se
então , , . Usando a forma factorizada
- Conferindo diretamente:
. Está coerente — bom sinal!