Considere z=x y+y^2, onde x=t^2 e y=e^t. Encontre d zd t.

Passo 1

O enunciado dá a função de duas variáveis z = x y + y^2, mas com x e y dependendo de t: temos x = t^2 e y = e^t. O conteúdo aqui é a regra da cadeia para derivadas de funções compostas: vamos precisar das derivadas parciais de z em relação a x e y, e das derivadas de x e y em relação a t.

Passo 2

Primeiro calculamos as derivadas parciais de z(x,y):
partial zpartial x = y,
partial zpartial y = x + 2y

Passo 3

Depois achamos as derivadas de x e y em relação a t:
dxdt = ddt(t^2) = 2t,
dydt = ddt(e^t) = e^t

Passo 4

Agora aplicamos a regra da cadeia para z(x(t),y(t)):
dzdt = partial zpartial xdxdt + partial zpartial ydydt

Passo 5

Basta substituir as derivadas e as expressões de x e y:
dzdt = ycdot(2t) + (x+2y)cdot e^t = 2t e^t + (t^2 + 2e^t)e^t = e^t(t^2 + 2t) + 2e^2t

Resposta

dzdt = e^t(t^2 + 2t) + 2e^2t

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