Suponha que z=f(x, y), onde x=g(t) e y=h(t). Mostre que d zd t=partial zpartial x d xd t+partial zpartial y d yd t.

Passo 1

O enunciado quer mostrar a regra da cadeia para uma função de duas variáveis: temos z = f(x,y) com x = g(t) e y = h(t). O conteúdo é cálculo multivariável (derivadas parciais e regra da cadeia). Vamos usar a definição de derivada e a aproximação linear de f para provar a fórmula.

Passo 2

Considere um incremento Δt em t e as variações correspondentes Δx = g(t+Δt)−g(t), Δy = h(t+Δt)−h(t) e Δz = f(x+Δx,y+Δy)−f(x,y). Pela definição de derivada de g e h, quando Δt→0 temos Δx→0 e Δy→0.

Passo 3

Usando o desenvolvimento de primeira ordem (aproximação linear) de f em torno de (x,y), temos
Δz = f(x+Δx,y+Δy) - f(x,y) ≈ fx(x,y)·Δx + fy(x,y)·Δy,
onde f_x e f_y são as derivadas parciais de f em relação a x e y. Os termos de ordem superior em Δx·Δy e (Δx)², (Δy)² ficam negligenciáveis quando Δt→0.

Passo 4

Dividindo ambos os lados por Δt e usando que Δx/Δt→g'(t)=dx/dt e Δy/Δt→h'(t)=dy/dt quando Δt→0, obtemos
ΔzΔt ≈ fx(x,y)ΔxΔt + fy(x,y)ΔyΔt

Passo 5

Tomando o limite Δt→0, a aproximação se torna igualdade e a derivada de z em relação a t é
dzdt = fx(x,y)dxdt + fy(x,y)dydt

Resposta

dzdt = partial zpartial xdxdt + partial zpartial ydydt

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