Suponha que
, onde
e
. Mostre que
.
Passo 1
O enunciado quer mostrar a regra da cadeia para uma função de duas variáveis: temos z = f(x,y) com x = g(t) e y = h(t). O conteúdo é cálculo multivariável (derivadas parciais e regra da cadeia). Vamos usar a definição de derivada e a aproximação linear de f para provar a fórmula.
Passo 2
Considere um incremento Δt em t e as variações correspondentes Δx = g(t+Δt)−g(t), Δy = h(t+Δt)−h(t) e Δz = f(x+Δx,y+Δy)−f(x,y). Pela definição de derivada de g e h, quando Δt→0 temos Δx→0 e Δy→0.
Passo 3
Usando o desenvolvimento de primeira ordem (aproximação linear) de f em torno de (x,y), temos
onde f_x e f_y são as derivadas parciais de f em relação a x e y. Os termos de ordem superior em Δx·Δy e (Δx)², (Δy)² ficam negligenciáveis quando Δt→0.
Passo 4
Dividindo ambos os lados por Δt e usando que
e
quando Δt→0, obtemos
Passo 5
Tomando o limite Δt→0, a aproximação se torna igualdade e a derivada de z em relação a t é