Determine os valores máximos e mínimos da função
no triângulo delimitado pelos pontos
e
.
Passo 1
O enunciado pede pra gente encontrar os valores máximos e mínimos da função
no triângulo fechado com vértices em
,
e
. O conteúdo é cálculo de extremos em conjuntos fechados: buscamos pontos críticos no interior e comparamos valores na fronteira.
Passo 2
Calculamos o gradiente para achar possíveis extremos no interior:
Para extrema no interior, resolvemos
e
, o que dá o ponto
que, na verdade, está na fronteira do domínio.
Passo 3
Agora analisamos cada aresta do triângulo:
- Aresta
: então . - Aresta
: então . - Aresta
: escrevemos e definimos
com
.
Passo 4
Para achar o máximo de
diferenciamos:
Igualando a zero,
dá
, logo
. O valor é
Nos extremos do intervalo
e
.
Passo 5
Comparando tudo, o menor valor de
no domínio é
(ocorre em toda a aresta
e
, em particular nos vértices
,
,
). O maior valor é
, que ocorre em
.
Resposta
Valor mínimo de
é 0 (por exemplo nos vértices
,
e
); valor máximo de
é
, em
.