Determine os valores máximos e mínimos da função f(x, y)=x y no triângulo delimitado pelos pontos (0,0),(1,0) e (0,1).

Passo 1

O enunciado pede pra gente encontrar os valores máximos e mínimos da função f(x,y)=xy no triângulo fechado com vértices em (0,0), (1,0) e (0,1). O conteúdo é cálculo de extremos em conjuntos fechados: buscamos pontos críticos no interior e comparamos valores na fronteira.

Passo 2

Calculamos o gradiente para achar possíveis extremos no interior:
nabla f(x,y)=(partialx f,,partialy f)=(y,,x)
Para extrema no interior, resolvemos y=0 e x=0, o que dá o ponto (0,0) que, na verdade, está na fronteira do domínio.

Passo 3

Agora analisamos cada aresta do triângulo:
  1. Aresta x=0: então f(0,y)=0.
  2. Aresta y=0: então f(x,0)=0.
  3. Aresta x+y=1: escrevemos y=1-x e definimos
g(x)=x(1-x)=x - x^2,
com xin[0,1].

Passo 4

Para achar o máximo de g(x) diferenciamos:
g'(x)=1-2x
Igualando a zero, 1-2x=0 x=tfrac12, logo y=1-x=tfrac12. O valor é
gl(tfrac12r)=tfrac12cdottfrac12=tfrac14
Nos extremos do intervalo g(0)=0 e g(1)=0.

Passo 5

Comparando tudo, o menor valor de f no domínio é 0 (ocorre em toda a aresta x=0 e y=0, em particular nos vértices (0,0), (1,0), (0,1)). O maior valor é tfrac14, que ocorre em (tfrac12,tfrac12).

Resposta

Valor mínimo de f é 0 (por exemplo nos vértices (0,0), (1,0) e (0,1)); valor máximo de f é tfrac14, em (tfrac12,tfrac12).

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