Determine a equação do plano tangente à superfície z=x^2 y-y^3 no ponto (1,2,-3).

Passo 1

Estamos com a superfície definida por z=f(x,y)=x^2y-y^3 e queremos o plano tangente a ela no ponto (x0,y0,z0)=(1,2,-3). O conteúdo é derivadas parciais e a fórmula do plano tangente a uma superfície do tipo z=f(x,y).

Passo 2

Primeiro calculamos as derivadas parciais de f(x,y):
partial fpartial x(x,y)=2xy,
partial fpartial y(x,y)=x^2-3y^2

Passo 3

Em seguida avaliamos essas derivadas no ponto (1,2):
partial fpartial x(1,2)=2cdot1cdot2=4,
partial fpartial y(1,2)=1^2-3cdot2^2=1-12=-11

Passo 4

Usamos a fórmula do plano tangente:
z - z0 = fx(x0,y0),(x-x0) + fy(x0,y0),(y-y0)
Substituindo x0=1, y0=2, z0=-3, fx(1,2)=4 e fy(1,2)=-11, temos
z +3 = 4(x-1) -11(y-2)

Resposta

z = 4x - 11y + 15

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