Considere z=x+i y. Encontre:
\operatorname{Re}\left(1 / z^{2}\right)

Passo 1

O enunciado nos dá z = x + i y e pede \Re\bigl(1/z^{2}\bigr). Para isso, vamos usar álgebra de números complexos: calcular primeiro z^{2}, depois usar a fórmula do inverso de um número complexo e, por fim, extrair a parte real.

Passo 2

Calcular
z^{2} = (x + i y)^{2} = x^{2} - y^{2} + 2\,i\,x\,y.

Passo 3

Seja
u = x^{2} - y^{2}, \quad v = 2\,x\,y,
então z^{2} = u + i\,v. O inverso de u + i\,v é dado por
\frac{1}{u + i\,v} = \frac{u - i\,v}{u^{2} + v^{2}} = \frac{x^{2} - y^{2} - 2\,i\,x\,y}{(x^{2} - y^{2})^{2} + (2\,x\,y)^{2}}.

Passo 4

No denominador temos
(x^{2} - y^{2})^{2} + (2\,x\,y)^{2} = x^{4} - 2\,x^{2}y^{2} + y^{4} + 4\,x^{2}y^{2} = x^{4} + 2\,x^{2}y^{2} + y^{4} = (x^{2} + y^{2})^{2}.

Passo 5

Portanto
\frac{1}{z^{2}} = \frac{x^{2} - y^{2}}{(x^{2} + y^{2})^{2}} - i\,\frac{2\,x\,y}{(x^{2} + y^{2})^{2}},
e a parte real é
\Re\bigl(1/z^{2}\bigr) = \frac{x^{2} - y^{2}}{(x^{2} + y^{2})^{2}}.

Resposta

\frac{x^{2} - y^{2}}{(x^{2} + y^{2})^{2}}.

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