Considerem os itens abaixo:
No que diz respeito à formulação de Lagrange, como podemos garantir que ela conduz aos mesmos resultados da formulação de Newton?
No que diz respeito à formulação de Lagrange, como podemos garantir que ela conduz aos mesmos resultados da formulação de Newton?
Passo 1
O que o enunciado pede: explicar como garantir que a formulação de Lagrange conduza aos mesmos resultados da formulação de Newton.
Informações relevantes que temos (implícitas no enunciado):
Informações relevantes que temos (implícitas no enunciado):
- Ambas são formulações da mecânica clássica para descrever o movimento de partículas/sistemas.
- Queremos condições e procedimento que mostrem a equivalência das equações de movimento obtidas pelas duas abordagens.
- Devemos considerar possíveis tipos de forças e restrições (holônomas, não-holônomas, conservativas, dissipativas, etc.).
Passo 2
Ideia geral (sem cálculos ainda): para mostrar equivalência usamos o princípio de d’Alembert (que é Newton escrito em forma varicional). A estratégia é: (i) escrever as leis de Newton para todas as partículas, (ii) aplicar deslocamentos virtuais que respeitam as restrições, (iii) usar que forças de restrição ideais não fazem trabalho virtual, (iv) projetar a equação sobre coordenadas generalizadas
e (v) reconhecer termos que vêm da energia cinética
e do potencial
para obter as equações de Lagrange. Para garantir equivalência, precisamos satisfazer certas hipóteses (vou listar e explicar em detalhe no próximo passo).
Passo 3
Quais hipóteses/condições são necessárias (lista e explicação):
- Sistema observado em um referencial inercial. Se o referencial for não inercial, aparece forças fictícias; nesse caso podemos ainda usar Lagrange desde que as forças fictícias sejam incluídas.
- Restrições devem ser tratadas corretamente:
- Se as restrições são holônomas (podem ser escritas como relações
entre coordenadas), podemos eliminar coordenadas ou usar multiplicadores de Lagrange; isso mantém equivalência. - Se as restrições são não-holônomas (dependem de velocidades, p.ex.
), a forma padrão das equações de Lagrange precisa ser adaptada (multiplicadores ou formulações específicas). A equivalência ainda pode ser obtida, mas requer cuidado (nem sempre a forma clássica basta sem ajustes).
- Se as restrições são holônomas (podem ser escritas como relações
- Forças externas:
- Se as forças são conservativas deriváveis de um potencial
, então podemos usar e obter equações homogeneamente equivalentes a Newton. - Se as forças não-conservativas existem, elas devem ser representadas como forças generalizadas
(ou via função de dissipação de Rayleigh) e então as equações de Lagrange generalizadas ficam com termos à direita: .
- Se as forças são conservativas deriváveis de um potencial
- Forças de restrição ideais: assumimos que as forças de restrição não fazem trabalho virtual, i.e.
para deslocamentos virtuais compatíveis. Essa hipótese permite eliminar as forças de restrição do desenvolvimento e é crucial para derivar Lagrange a partir de Newton.
Passo 4
Começando a derivação formal: Newton para um sistema de
partículas. Escrevo a lei de Newton em forma vetorial para cada partícula
:
onde
agrupa forças aplicadas (gravitacional, elástica, etc.) e
são forças de restrição. Reorganizando:
Passo 5
Aplicando d’Alembert (introduz deslocamentos virtuais): multiplico escalarmente por deslocamentos virtuais
(compatíveis com as restrições) e somo sobre
:
Pela hipótese de restrições ideais,
. Logo
Isto é a forma de d’Alembert: forças efetivas projetadas sobre deslocamentos virtuais somam zero.
Passo 6
Introdução de coordenadas generalizadas
. Cada posição
é função das coordenadas generalizadas e do tempo:
Deslocamentos virtuais compatíveis são
Substituindo na equação de d’Alembert:
Troco somas:
Passo 7
Como as variações
são independentes, cada coeficiente deve ser zero. Defino a força generalizada
Termo inercial:
A condição coeficiente zero dá:
Passo 8
Relacionando esse termo com a energia cinética
. A energia cinética do sistema é
onde
. Uma identidade útil (que se prova diferenciando e usando dependência de
em
) é
Diferenciando no tempo:
Usando cálculo e propriedades das derivadas parciais, mostra-se que o segundo somatório é justamente
. Portanto obtemos a identidade central:
Passo 9
Substituindo essa identidade na equação do Passo 7, chegamos à forma geral:
Isto é uma forma de equações de Lagrange com a energia cinética e forças generalizadas
no lado direito.
Passo 10
Caso das forças conservativas: se todas as forças aplicadas derivam de um potencial
tal que
então as forças generalizadas são
Definindo o lagrangiano habitual
temos
que é exatamente a forma usual das equações de Lagrange (Euler–Lagrange) e, por construção, é equivalente às leis de Newton sob as hipóteses assumidas.
Passo 11
O que fazer quando há forças não-conservativas ou dependentes de velocidade:
- Forças generalizadas não-conservativas entram pelo termo
no lado direito de
- Se uma força dissipativa viscosa linear pode ser escrita usando uma função de dissipação de Rayleigh
com , então incluímos esse termo e mantemos equivalência prática. - Se as forças dependem explicitamente das velocidades mas derivam de um potencial generalizado
, a fórmula geral para pode ser expressa em termos de (caso do potencial magnético com vetor potencial , por exemplo).
Passo 12
Casos delicados e como garantir a equivalência na prática:
- Restrições não-ideais (fazem trabalho virtual): então
. Nesse caso a derivação básica falha e é preciso manter explicitamente ou usar multiplicadores de Lagrange com equações adicionais; a equivalência com Newton só aparece depois de incluir essas forças corretamente. - Restrições não-holônomas: usar multiplicadores ou formulismos específicos (Lagrange multipliers generalized) para manter equivalência.
- Referenciais não inerciais: incluir forças fictícias apropriadas (Coriolis, centrífuga) como forças externas no lado
. - Se cumprir as hipóteses (referencial inercial, restrições tratadas corretamente, forças representadas como
ou ), as equações de Lagrange são exatamente as mesmas equações de movimento que Newton forneceria.
Passo 13
Um resumo prático — passo a passo que você usaria numa prova para garantir equivalência:
- Escolha coordenadas generalizadas
que descrevam todas as posições . - Verifique o tipo de restrições (holônomas? não-holônomas?) e trate-as: elimine coordenadas se possível ou use multiplicadores de Lagrange. Assegure-se de que forças de restrição são ideais ou que você as inclui explicitamente.
- Calcule
em termos de . - Identifique forças conservativas e construa
; identifique forças não-conservativas e calcule as forças generalizadas (ou função de dissipação). - Escreva as equações de Lagrange:
com
.
6. Se quiser comparar diretamente com Newton, expanda as equações em componentes cartesianas usando e veja que elas coincidem com
(mais as forças de restrição corretamente tratadas).
6. Se quiser comparar diretamente com Newton, expanda as equações em componentes cartesianas usando
Passo 14
Um exemplo curtinho (pêndulo simples, para ver a equivalência):
- Coordenada generalizada
, posição do bobs . - Energia cinética
. - Potencial
. - Lagrangiano
. Euler–Lagrange:
que é exatamente a equação que obteríamos projetando
na direção tangencial do movimento (Newton). Isso ilustra a equivalência prática.
Resposta
Para garantir que a formulação de Lagrange conduza aos mesmos resultados de Newton: trabalhe em um referencial inercial; escolha coordenadas generalizadas que descrevam
; garanta que as restrições sejam tratadas corretamente (holônomas eliminadas ou incluídas por multiplicadores; restrições ideais ou com forças de restrição explicitadas); expresse a energia cinética
e as forças aplicadas como um potencial
ou como forças generalizadas
; então as equações
são matematicamente equivalentes às leis de Newton (ou às suas projeções) sob essas hipóteses.