Considerem os itens abaixo:
No que diz respeito à formulação de Lagrange, como podemos garantir que ela conduz aos mesmos resultados da formulação de Newton?

Passo 1

O que o enunciado pede: explicar como garantir que a formulação de Lagrange conduza aos mesmos resultados da formulação de Newton.
Informações relevantes que temos (implícitas no enunciado):
  • Ambas são formulações da mecânica clássica para descrever o movimento de partículas/sistemas.
  • Queremos condições e procedimento que mostrem a equivalência das equações de movimento obtidas pelas duas abordagens.
  • Devemos considerar possíveis tipos de forças e restrições (holônomas, não-holônomas, conservativas, dissipativas, etc.).

Passo 2

Ideia geral (sem cálculos ainda): para mostrar equivalência usamos o princípio de d’Alembert (que é Newton escrito em forma varicional). A estratégia é: (i) escrever as leis de Newton para todas as partículas, (ii) aplicar deslocamentos virtuais que respeitam as restrições, (iii) usar que forças de restrição ideais não fazem trabalho virtual, (iv) projetar a equação sobre coordenadas generalizadas q_j e (v) reconhecer termos que vêm da energia cinética T e do potencial V para obter as equações de Lagrange. Para garantir equivalência, precisamos satisfazer certas hipóteses (vou listar e explicar em detalhe no próximo passo).

Passo 3

Quais hipóteses/condições são necessárias (lista e explicação):
  1. Sistema observado em um referencial inercial. Se o referencial for não inercial, aparece forças fictícias; nesse caso podemos ainda usar Lagrange desde que as forças fictícias sejam incluídas.
  2. Restrições devem ser tratadas corretamente:
    • Se as restrições são holônomas (podem ser escritas como relações f(q_1,\dots,q_n,t)=0 entre coordenadas), podemos eliminar coordenadas ou usar multiplicadores de Lagrange; isso mantém equivalência.
    • Se as restrições são não-holônomas (dependem de velocidades, p.ex. a_j(q,t)\,\dot q_j + b(q,t)=0), a forma padrão das equações de Lagrange precisa ser adaptada (multiplicadores ou formulações específicas). A equivalência ainda pode ser obtida, mas requer cuidado (nem sempre a forma clássica d/dt(\partial L/\partial \dot q_j)-\partial L/\partial q_j=0 basta sem ajustes).
  3. Forças externas:
    • Se as forças são conservativas deriváveis de um potencial V(\{r_i\},t), então podemos usar L=T-V e obter equações homogeneamente equivalentes a Newton.
    • Se as forças não-conservativas existem, elas devem ser representadas como forças generalizadas Q_j (ou via função de dissipação de Rayleigh) e então as equações de Lagrange generalizadas ficam com termos à direita: d/dt(\partial L/\partial \dot q_j)-\partial L/\partial q_j = Q_j.
  4. Forças de restrição ideais: assumimos que as forças de restrição não fazem trabalho virtual, i.e. \sum_i \mathbf{R}_i\cdot\delta\mathbf{r}_i=0 para deslocamentos virtuais compatíveis. Essa hipótese permite eliminar as forças de restrição do desenvolvimento e é crucial para derivar Lagrange a partir de Newton.

Passo 4

Começando a derivação formal: Newton para um sistema de N partículas. Escrevo a lei de Newton em forma vetorial para cada partícula i:
m_i \mathbf{a}_i = \mathbf{F}_i + \mathbf{R}_i,
onde \mathbf{F}_i agrupa forças aplicadas (gravitacional, elástica, etc.) e \mathbf{R}_i são forças de restrição. Reorganizando:
\mathbf{F}_i - m_i \mathbf{a}_i + \mathbf{R}_i = \mathbf{0}.

Passo 5

Aplicando d’Alembert (introduz deslocamentos virtuais): multiplico escalarmente por deslocamentos virtuais \delta\mathbf{r}_i (compatíveis com as restrições) e somo sobre i:
\sum_{i=1}^N (\mathbf{F}_i - m_i \mathbf{a}_i + \mathbf{R}_i)\cdot \delta\mathbf{r}_i = 0.
Pela hipótese de restrições ideais, \sum_i \mathbf{R}_i\cdot\delta\mathbf{r}_i=0. Logo
\sum_{i=1}^N (\mathbf{F}_i - m_i \mathbf{a}_i)\cdot\delta\mathbf{r}_i = 0.
Isto é a forma de d’Alembert: forças efetivas projetadas sobre deslocamentos virtuais somam zero.

Passo 6

Introdução de coordenadas generalizadas q_j. Cada posição \mathbf{r}_i é função das coordenadas generalizadas e do tempo:
\mathbf{r}_i = \mathbf{r}_i(q_1,\dots,q_n,t).
Deslocamentos virtuais compatíveis são
\delta\mathbf{r}_i = \sum_{j=1}^n \frac{\partial \mathbf{r}_i}{\partial q_j}\,\delta q_j.
Substituindo na equação de d’Alembert:
\sum_{i=1}^N (\mathbf{F}_i - m_i \mathbf{a}_i)\cdot\left(\sum_{j=1}^n \frac{\partial \mathbf{r}_i}{\partial q_j}\,\delta q_j\right)=0.
Troco somas:
\sum_{j=1}^n\left(\sum_{i=1}^N (\mathbf{F}_i - m_i \mathbf{a}_i)\cdot\frac{\partial \mathbf{r}_i}{\partial q_j}\right)\delta q_j = 0.

Passo 7

Como as variações \delta q_j são independentes, cada coeficiente deve ser zero. Defino a força generalizada
Q_j := \sum_{i=1}^N \mathbf{F}_i\cdot\frac{\partial \mathbf{r}_i}{\partial q_j}.
Termo inercial:
-\sum_{i=1}^N m_i \mathbf{a}_i\cdot\frac{\partial \mathbf{r}_i}{\partial q_j}.
A condição coeficiente zero dá:
\sum_{i=1}^N m_i \mathbf{a}_i\cdot\frac{\partial \mathbf{r}_i}{\partial q_j} = Q_j.

Passo 8

Relacionando esse termo com a energia cinética T. A energia cinética do sistema é
T = \sum_{i=1}^N \tfrac{1}{2} m_i \mathbf{v}_i^2,
onde \mathbf{v}_i = \dot{\mathbf{r}}_i. Uma identidade útil (que se prova diferenciando e usando dependência de \mathbf{r}_i em q_j,\dot q_j,t) é
\frac{\partial T}{\partial \dot q_j} = \sum_{i=1}^N m_i \mathbf{v}_i\cdot\frac{\partial \mathbf{r}_i}{\partial q_j}.
Diferenciando no tempo:
\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial T}{\partial \dot q_j}\right) = \sum_{i=1}^N m_i \mathbf{a}_i\cdot\frac{\partial \mathbf{r}_i}{\partial q_j} + \sum_{i=1}^N m_i \mathbf{v}_i\cdot\frac{d}{dt}\!\left(\frac{\partial \mathbf{r}_i}{\partial q_j}\right).
Usando cálculo e propriedades das derivadas parciais, mostra-se que o segundo somatório é justamente \partial T/\partial q_j. Portanto obtemos a identidade central:
\sum_{i=1}^N m_i \mathbf{a}_i\cdot\frac{\partial \mathbf{r}_i}{\partial q_j} = \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial T}{\partial \dot q_j}\right) - \frac{\partial T}{\partial q_j}.

Passo 9

Substituindo essa identidade na equação do Passo 7, chegamos à forma geral:
\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial T}{\partial \dot q_j}\right) - \frac{\partial T}{\partial q_j} = Q_j.
Isto é uma forma de equações de Lagrange com a energia cinética e forças generalizadas Q_j no lado direito.

Passo 10

Caso das forças conservativas: se todas as forças aplicadas derivam de um potencial \,V(\{q_k\},t) tal que
\mathbf{F}_i = -\frac{\partial V}{\partial \mathbf{r}_i},
então as forças generalizadas são
Q_j = -\frac{\partial V}{\partial q_j}.
Definindo o lagrangiano habitual
L := T - V,
temos
\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot q_j}\right) - \frac{\partial L}{\partial q_j} = 0,
que é exatamente a forma usual das equações de Lagrange (Euler–Lagrange) e, por construção, é equivalente às leis de Newton sob as hipóteses assumidas.

Passo 11

O que fazer quando há forças não-conservativas ou dependentes de velocidade:
  • Forças generalizadas não-conservativas entram pelo termo Q_j no lado direito de
\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial T}{\partial \dot q_j}\right) - \frac{\partial T}{\partial q_j} = Q_j.
  • Se uma força dissipativa viscosa linear pode ser escrita usando uma função de dissipação de Rayleigh \mathcal{F}(\dot q) com Q_j = -\partial \mathcal{F}/\partial \dot q_j, então incluímos esse termo e mantemos equivalência prática.
  • Se as forças dependem explicitamente das velocidades mas derivam de um potencial generalizado U(q,\dot q,t), a fórmula geral para Q_j pode ser expressa em termos de U (caso do potencial magnético com vetor potencial \mathbf{A}, por exemplo).

Passo 12

Casos delicados e como garantir a equivalência na prática:
  • Restrições não-ideais (fazem trabalho virtual): então \sum \mathbf{R}_i\cdot\delta\mathbf{r}_i\neq0. Nesse caso a derivação básica falha e é preciso manter explicitamente \mathbf{R}_i ou usar multiplicadores de Lagrange com equações adicionais; a equivalência com Newton só aparece depois de incluir essas forças corretamente.
  • Restrições não-holônomas: usar multiplicadores ou formulismos específicos (Lagrange multipliers generalized) para manter equivalência.
  • Referenciais não inerciais: incluir forças fictícias apropriadas (Coriolis, centrífuga) como forças externas no lado \mathbf{F}_i.
  • Se cumprir as hipóteses (referencial inercial, restrições tratadas corretamente, forças representadas como V ou Q_j), as equações de Lagrange são exatamente as mesmas equações de movimento que Newton forneceria.

Passo 13

Um resumo prático — passo a passo que você usaria numa prova para garantir equivalência:
  1. Escolha coordenadas generalizadas q_j que descrevam todas as posições \mathbf{r}_i(q,t).
  2. Verifique o tipo de restrições (holônomas? não-holônomas?) e trate-as: elimine coordenadas se possível ou use multiplicadores de Lagrange. Assegure-se de que forças de restrição são ideais ou que você as inclui explicitamente.
  3. Calcule T em termos de q,\dot q,t.
  4. Identifique forças conservativas e construa V; identifique forças não-conservativas e calcule as forças generalizadas Q_j (ou função de dissipação).
  5. Escreva as equações de Lagrange:
\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot q_j}\right)-\frac{\partial L}{\partial q_j}=Q_j,
com L=T-V.
6. Se quiser comparar diretamente com Newton, expanda as equações em componentes cartesianas usando \mathbf{r}_i(q,t) e veja que elas coincidem com m_i\mathbf{a}_i=\mathbf{F}_i (mais as forças de restrição corretamente tratadas).

Passo 14

Um exemplo curtinho (pêndulo simples, para ver a equivalência):
  • Coordenada generalizada \theta, posição do bobs \mathbf{r}=(l\sin\theta,-l\cos\theta).
  • Energia cinética T=\tfrac12 m l^2\dot\theta^2.
  • Potencial V=m g l(1-\cos\theta).
  • Lagrangiano L=T-V. Euler–Lagrange:
\frac{d}{dt}(m l^2\dot\theta) + m g l\sin\theta = 0 \quad\Rightarrow\quad m l^2\ddot\theta + m g l\sin\theta =0,
que é exatamente a equação que obteríamos projetando m\mathbf{a}=\mathbf{F} na direção tangencial do movimento (Newton). Isso ilustra a equivalência prática.

Resposta

Para garantir que a formulação de Lagrange conduza aos mesmos resultados de Newton: trabalhe em um referencial inercial; escolha coordenadas generalizadas que descrevam \mathbf{r}_i=\mathbf{r}_i(q,t); garanta que as restrições sejam tratadas corretamente (holônomas eliminadas ou incluídas por multiplicadores; restrições ideais ou com forças de restrição explicitadas); expresse a energia cinética T(q,\dot q,t) e as forças aplicadas como um potencial V(q,t) ou como forças generalizadas Q_j; então as equações
\frac{d}{dt}\!\left(\frac{\partial L}{\partial \dot q_j}\right)-\frac{\partial L}{\partial q_j}=Q_j,\quad L=T-V,
são matematicamente equivalentes às leis de Newton (ou às suas projeções) sob essas hipóteses.

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