(2.0 pontos) Uma corda flexível de densidade uniforme de massa \mu=\frac{m}{l} e comprimento total l, é disposta esticada sobre uma mesa de comprimento a<l, e tem parte dela suspensa no ar a partir da extremidade da mesa. Somente a gravidade de módulo g age na corda. Considerando que a corda inicialmente encontra-se em repouso e que z(t) seja a distância da extremidade da corda à mesa função do tempo t :
a) Encontre a lagrangeana que descreve este sistema;
b) Encontre a equação de movimento, a partir da lagrangeana, que caracteriza o movimento da corcu ao escorregar de sobre a mesa e cair;
c) Mostre que
z(t)=(l-a) \operatorname{cosh} \sqrt{\frac{g}{l}} t
onde \operatorname{cosh} x=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}.

Passo 1

O enunciado dá uma corda de comprimento total l e massa total m, com densidade linear uniforme \mu=\dfrac{m}{l}. A corda está colocada sobre uma mesa de comprimento a com a<l, de modo que uma parte fica suspensa além da extremidade da mesa. Inicialmente a corda está em repouso. Define-se z(t) como a distância (comprimento) da extremidade livre da corda até a borda da mesa, como função do tempo t. Portanto, inicialmente
z(0)=l-a,
e a velocidade inicial é \dot z(0)=0.\n
O enunciado pede:
a) encontrar a lagrangeana que descreve o sistema;
b) obter a equação de movimento a partir da lagrangeana;
c) mostrar que
z(t)=(l-a)\operatorname{cosh}\!\biggl(\sqrt{\frac{g}{l}}\,t\biggr).

Passo 2

Escolha de convenções (muito importante): vou tomar a coordenada z positiva no sentido para baixo (isto é, z é o comprimento pendente, medido para baixo a partir da borda da mesa). Com essa escolha, quando z aumenta a massa pendente desce — a energia potencial gravitacional diminui. Vou usar essa convenção consistentemente nas contas. Também lembraremos que \mu=\dfrac{m}{l}.

Passo 3

Cálculo da energia cinética T.
Pense num elemento de corda de comprimento ds e massa dm=\mu\,ds. Por causa da inextensibilidade e do deslizamento sem atrito, todos os pontos da corda têm a mesma velocidade longitudinal (a corda “escorrega” como um corpo rígido no sentido do movimento de material ao longo dela). Assim, a velocidade de cada elemento é a velocidade com que o comprimento pendente varia, isto é v=\dot z(t). Portanto a energia cinética total é a soma (integral) das energias cinéticas dos elementos:
T=\int_{\text{corda}} \frac{1}{2}\,dm\,v^{2} =\int_{0}^{l}\frac{1}{2}\,\mu\,\dot z^{2}\,ds.
Como a integral sobre s dá simplesmente o comprimento total l, obtemos
T=\frac{1}{2}\mu l\,\dot z^{2}=\frac{1}{2}m\,\dot z^{2}.
Explicação curta: todos os pedaços se movem com velocidade \dot z, e a massa total é m=\mu l, daí T=\tfrac{1}{2}m\dot z^{2}.

Passo 4

Cálculo da energia potencial V.
Escolhemos referência de potencial tal que um ponto na borda da mesa tem potencial zero. Para um elemento de corda que está a uma distância y abaixo da borda (com 0\le y\le z), a energia potencial gravitacional (com nossa convenção z para baixo positiva) é
dV = - g\,y\,dm = -g\,y\,\mu\,dy,
porque mover massa para baixo reduz a energia potencial (sinal negativo). Integrando sobre a porção pendente (de y=0 até y=z) obtemos a contribuição variável da gravidade:
V_{\text{pendente}}=\int_{0}^{z} -g\,y\,\mu\,dy = -\frac{1}{2}\,\mu g\,z^{2}.
A porção que está sobre a mesa fica a altura fixa (zero na nossa referência), portanto não contribui com termo dependente de z. Logo a energia potencial total (relevante para a dinâmica) é
V=-\frac{1}{2}\mu g\,z^{2}.

Passo 5

Escrevendo a lagrangeana.
Lembrando L=T-V, usamos os resultados dos passos anteriores:
T=\frac{1}{2}m\dot z^{2},\qquad V=-\frac{1}{2}\mu g z^{2}.
Portanto a lagrangeana é
L = \frac{1}{2}m\dot z^{2} + \frac{1}{2}\mu g z^{2}.
Podemos, se quisermos, substituir \mu=\dfrac{m}{l} para escrever
L=\frac{1}{2}m\dot z^{2} + \frac{1}{2}\,\frac{m}{l}\,g\,z^{2}.
(Dica didática: a presença do sinal “+” no segundo termo vem do sinal negativo em V e do fato de L=T-V. Isso gera um termo que, ao entrar na equação de Euler–Lagrange, dará uma contribuição de sinal que produz crescimento exponencial: o equilíbrio é instável.)

Passo 6

Derivação da equação de movimento pela equação de Euler–Lagrange.
A equação de Euler–Lagrange para a coordenada generalizada z é
\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot z}\right)-\frac{\partial L}{\partial z}=0.
Calculemos as derivadas:
\frac{\partial L}{\partial \dot z}=m\dot z, \qquad \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot z}\right)=m\ddot z,
\frac{\partial L}{\partial z}=\mu g z=\frac{m}{l}g z.
Substituindo na Euler–Lagrange obtemos
m\ddot z - \mu g z = 0.
Dividindo por m e lembrando \mu=m/l resulta
\ddot z - \frac{g}{l}\,z = 0.
Essa é a equação de movimento buscada. (Interpretação física breve: a força resultante para baixo é a parcela da massa pendente vezes g; como essa força cresce com z, o sistema é instável e z cresce de forma exponencial/hiperbólica.)

Passo 7

Solução da equação diferencial e aplicação das condições iniciais.
A equação
\ddot z - \omega^{2} z = 0,\qquad\text{com}\quad \omega^{2}=\frac{g}{l},
é linear com coeficientes constantes. A equação característica é r^{2}-\omega^{2}=0, com raízes r=\pm\omega. Logo a solução geral é
z(t)=A e^{\omega t} + B e^{-\omega t}.
É conveniente escrever em termos das funções hiperbólicas,
z(t)=C\operatorname{cosh}(\omega t)+D\operatorname{sinh}(\omega t),
já que \operatorname{cosh} x=\tfrac{e^{x}+e^{-x}}{2} e \operatorname{sinh} x=\tfrac{e^{x}-e^{-x}}{2}. Agora aplicamos as condições iniciais: z(0)=l-a e \dot z(0)=0. Da solução em hiperbólicas,
z(0)=C(l)=C\cdot 1 + D\cdot 0 = C = l-a,
e
\dot z(t)=\omega\bigl(C\operatorname{sinh}(\omega t)+D\operatorname{cosh}(\omega t)\bigr)\implies \dot z(0)=\omega D = 0 \Rightarrow D=0.
Assim chegamos à solução particular
z(t)=(l-a)\operatorname{cosh}\!\biggl(\sqrt{\frac{g}{l}}\,t\biggr),
que é exatamente a expressão pedida.

Resposta

a) L=\dfrac{1}{2}m\dot z^{2}+\dfrac{1}{2}\mu g z^{2}=\dfrac{1}{2}m\dot z^{2}+\dfrac{1}{2}\dfrac{m}{l}g z^{2}.
b) \ddot z-\dfrac{g}{l}\,z=0.
c) z(t)=(l-a)\operatorname{cosh}\!\biggl(\sqrt{\dfrac{g}{l}}\,t\biggr).

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