(2.0 pontos) Uma corda flexível de densidade uniforme de massa
e comprimento total
, é disposta esticada sobre uma mesa de comprimento
, e tem parte dela suspensa no ar a partir da extremidade da mesa. Somente a gravidade de módulo
age na corda. Considerando que a corda inicialmente encontra-se em repouso e que
seja a distância da extremidade da corda à mesa função do tempo
:
a) Encontre a lagrangeana que descreve este sistema;
b) Encontre a equação de movimento, a partir da lagrangeana, que caracteriza o movimento da corcu ao escorregar de sobre a mesa e cair;
c) Mostre que
onde
.
a) Encontre a lagrangeana que descreve este sistema;
b) Encontre a equação de movimento, a partir da lagrangeana, que caracteriza o movimento da corcu ao escorregar de sobre a mesa e cair;
c) Mostre que
Passo 1
O enunciado dá uma corda de comprimento total
e massa total
, com densidade linear uniforme
. A corda está colocada sobre uma mesa de comprimento
com
, de modo que uma parte fica suspensa além da extremidade da mesa. Inicialmente a corda está em repouso. Define-se
como a distância (comprimento) da extremidade livre da corda até a borda da mesa, como função do tempo
. Portanto, inicialmente
e a velocidade inicial é
.\n
O enunciado pede:
a) encontrar a lagrangeana que descreve o sistema;
b) obter a equação de movimento a partir da lagrangeana;
c) mostrar que
O enunciado pede:
a) encontrar a lagrangeana que descreve o sistema;
b) obter a equação de movimento a partir da lagrangeana;
c) mostrar que
Passo 2
Escolha de convenções (muito importante): vou tomar a coordenada
positiva no sentido para baixo (isto é,
é o comprimento pendente, medido para baixo a partir da borda da mesa). Com essa escolha, quando
aumenta a massa pendente desce — a energia potencial gravitacional diminui. Vou usar essa convenção consistentemente nas contas. Também lembraremos que
.
Passo 3
Cálculo da energia cinética
.
Pense num elemento de corda de comprimento e massa
. Por causa da inextensibilidade e do deslizamento sem atrito, todos os pontos da corda têm a mesma velocidade longitudinal (a corda “escorrega” como um corpo rígido no sentido do movimento de material ao longo dela). Assim, a velocidade de cada elemento é a velocidade com que o comprimento pendente varia, isto é
. Portanto a energia cinética total é a soma (integral) das energias cinéticas dos elementos:
Pense num elemento de corda de comprimento
Como a integral sobre
dá simplesmente o comprimento total
, obtemos
Explicação curta: todos os pedaços se movem com velocidade
, e a massa total é
, daí
.
Passo 4
Cálculo da energia potencial
.
Escolhemos referência de potencial tal que um ponto na borda da mesa tem potencial zero. Para um elemento de corda que está a uma distância abaixo da borda (com
), a energia potencial gravitacional (com nossa convenção
para baixo positiva) é
Escolhemos referência de potencial tal que um ponto na borda da mesa tem potencial zero. Para um elemento de corda que está a uma distância
porque mover massa para baixo reduz a energia potencial (sinal negativo). Integrando sobre a porção pendente (de
até
) obtemos a contribuição variável da gravidade:
A porção que está sobre a mesa fica a altura fixa (zero na nossa referência), portanto não contribui com termo dependente de
. Logo a energia potencial total (relevante para a dinâmica) é
Passo 5
Escrevendo a lagrangeana.
Lembrando , usamos os resultados dos passos anteriores:
Lembrando
Portanto a lagrangeana é
Podemos, se quisermos, substituir
para escrever
(Dica didática: a presença do sinal “+” no segundo termo vem do sinal negativo em
e do fato de
. Isso gera um termo que, ao entrar na equação de Euler–Lagrange, dará uma contribuição de sinal que produz crescimento exponencial: o equilíbrio é instável.)
Passo 6
Derivação da equação de movimento pela equação de Euler–Lagrange.
A equação de Euler–Lagrange para a coordenada generalizada é
A equação de Euler–Lagrange para a coordenada generalizada
Calculemos as derivadas:
Substituindo na Euler–Lagrange obtemos
Dividindo por
e lembrando
resulta
Essa é a equação de movimento buscada. (Interpretação física breve: a força resultante para baixo é a parcela da massa pendente vezes
; como essa força cresce com
, o sistema é instável e
cresce de forma exponencial/hiperbólica.)
Passo 7
Solução da equação diferencial e aplicação das condições iniciais.
A equação
A equação
é linear com coeficientes constantes. A equação característica é
, com raízes
. Logo a solução geral é
É conveniente escrever em termos das funções hiperbólicas,
já que
e
. Agora aplicamos as condições iniciais:
e
. Da solução em hiperbólicas,
e
Assim chegamos à solução particular
que é exatamente a expressão pedida.
Resposta
a)
b)
c)
b)
c)