Considerem os itens abaixo:
Enuncie o princípio de Hamilton ou o princípio da mínima ação e discuta o seu significado à luz da Mecânica.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) enunciar o princípio de Hamilton (também chamado princípio da mínima ação) e (2) discutir o significado desse princípio à luz da Mecânica.
Informações relevantes dadas implicitamente pelo enunciado: queremos a formulação variacional (com ação e lagrangiana), a ligação com as equações do movimento e o significado físico/interpretativo desse princípio. Não há outros dados numéricos; trata-se de pergunta teórica.

Passo 2

Enuncie do princípio (forma padrão).
O princípio de Hamilton afirma que a evolução real de um sistema mecânico entre dois instantes fixos t_1 e t_2 é tal que a ação
S[q]=\int_{t_{1}}^{t_{2}} L\bigl(q(t),\dot q(t),t\bigr)\,dt
é estacionária em relação a variações infinitesimais da trajetória q(t) que mantêm os extremos fixos: \delta q(t_1)=\delta q(t_2)=0. Ou seja,
\delta S=0.

Passo 3

Explique o que é cada termo da fórmula (aula rápida).
  • q(t) representa a(s) coordenada(s) generalizada(s) do sistema (pode ser posição, ângulo, etc.).
  • \dot q(t) é a derivada temporal de q(t), isto é, a velocidade generalizada.
  • L(q,\dot q,t) é a lagrangiana do sistema: normalmente, para sistemas conservativos, tomamos
L(q,\dot q,t)=T(\dot q)-V(q),
onde T é a energia cinética e V a energia potencial.
  • S[q] é a ação: um número (real) associado a cada trajetória q(t) que mede, em certo sentido, a “custo” da trajetória entre t_1 e t_2.

Passo 4

Derivação passo a passo de \delta S=0 para obter as equações de movimento (Euler–Lagrange).
Queremos estudar pequenas variações da trajetória:
q(t)\mapsto q(t)+\varepsilon\,\eta(t),
onde \eta(t) é uma função arbitrária (suave) com \eta(t_1)=\eta(t_2)=0 e \varepsilon é pequeno. A variação da ação é
\delta S=\left.\frac{d}{d\varepsilon}S[q+\varepsilon\eta]\right|_{\varepsilon=0}.
Calculemos:
\delta S=\int_{t_{1}}^{t_{2}} \left(\frac{\partial L}{\partial q}\,\eta + \frac{\partial L}{\partial \dot q}\,\dot\eta\right) dt.
Agora integramos por partes o termo com \dot\eta. Como \eta(t_1)=\eta(t_2)=0, a parte de contorno some, e obtemos
\delta S=\int_{t_{1}}^{t_{2}} \left(\frac{\partial L}{\partial q}-\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot q}\right)\eta(t)\,dt.
Como \eta(t) é arbitrária dentro do intervalo, para que \delta S=0 para todas as \eta devemos ter o integrando nulo:
\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot q}-\frac{\partial L}{\partial q}=0.
Essa é a equação de Euler–Lagrange, que são as equações de movimento equivalentes às leis de Newton quando escolhemos L=T-V.

Passo 5

Aplicação concreta: recuperando a segunda lei de Newton para uma partícula unidimensional.
Considere uma partícula de massa m em um potencial V(q). Então
L(q,\dot q)=T-V=\tfrac{1}{2}m\dot q^{2}-V(q).
Calculemos os termos:
\frac{\partial L}{\partial \dot q}=m\dot q,\qquad \frac{\partial L}{\partial q}=-\frac{dV}{dq}.
Aplicando Euler–Lagrange:
\frac{d}{dt}\bigl(m\dot q\bigr)-\bigl(-V'(q)\bigr)=0\quad\Rightarrow\quad m\ddot q+V'(q)=0,
ou, escrevendo F=-V'(q),
m\ddot q=F,
que é exatamente a segunda lei de Newton. Portanto o princípio variacional reproduz a mecânica newtoniana.

Passo 6

Discuta o significado físico do princípio (intuição e diferenças importantes).
  • Global vs local: Newton dá uma lei local em cada instante ( F=ma). O princípio de Hamilton é global: ele compara diferentes trajetórias inteiras entre dois instantes e seleciona a que torna a ação estacionária. Isso é importante: a trajetória real “sabe” do que acontece entre os instantes finais.
  • “Mínima ação” é uma expressão histórica — o correto é dizer que a ação é estacionária. A trajetória real pode minimizar, maximizar ou ser um ponto de sela da ação; o que vale é \delta S=0.
  • Economicamente: entre todas as trajetórias possíveis com mesmos extremos, a física “escolhe” a que torna o integral S estacionário. Pense como se o sistema “otimizasse” uma quantidade global.
  • Condições de contorno: a formulação exige fixar as posições (ou coordenadas generalizadas) em t_1 e t_2. Variações com contornos diferentes mudam o problema.

Passo 7

Vantagens práticas e significado para a mecânica e além.
  • Coordenadas generalizadas: a formulação lagrangiana funciona naturalmente em coordenadas que simplificam o problema (ângulos, coordenadas curvilíneas), tornando fácil tratar restrições (por exemplo, corpos ligados por vínculos).
  • Conservação e simetrias: simetrias na lagrangiana implicam quantidades conservadas (teorema de Noether). Ex.: se L não depende de t então a energia é conservada; se L é invariante por translação, o momento linear é conservado. Isso dá uma ligação profunda entre simetria e conservação.
  • Passagem para Hamiltoniano e mecânica quântica: a partir da lagrangiana obtém-se a função Hamiltoniana e as equações canônicas; na mecânica quântica de Feynman a ação aparece no integrando da soma sobre trajetórias (path integral), mostrando que o princípio de ação tem reflexos fundamentais.

Passo 8

Exemplo concreto rápido que ilustra a aplicação em prova (como fazer passo a passo).
Problema típico: “Achar equação de movimento de massa m presa a mola com constante k (oscilador harmônico).”
  1. Escolha coordenada q = deslocamento; T=\tfrac{1}{2}m\dot q^{2}, V=\tfrac{1}{2}kq^{2}.
  2. Escreva L=\tfrac{1}{2}m\dot q^{2}-\tfrac{1}{2}kq^{2}.
  3. Calcule \partial L/\partial q = -kq e \partial L/\partial \dot q = m\dot q.
  4. Euler–Lagrange: m\ddot q + kq=0.
  5. Reconheça equação do oscilador harmônico e resolva se necessário.
    Esse é o procedimento padrão em provas: montar L, calcular parciais e aplicar Euler–Lagrange.

Passo 9

Observações comuns que costumam cair em prova e armadilhas que você deve evitar.
  • Não confunda “mínima” com “estacionária”: escreva \delta S=0 e evite afirmar sem prova que é mínimo.
  • Sempre especifique as condições de contorno (quais variáveis são fixas nos instantes finais).
  • Ao aplicar a variação, não esqueça do termo de contorno na integração por partes—ele some somente porque impusemos \eta(t_1)=\eta(t_2)=0.
  • Para sistemas com forças não conservativas ou com dissipação, a lagrangiana padrão T-V pode não existir; existe formulação generalizada, mas cuidado em provas: se o problema for conservativo, use L=T-V.

Passo 10

Resumo prático (como responder rápido numa prova) e incentivo.
  • Escreva o princípio: \delta S=0 com S=\int_{t_1}^{t_2}L\,dt.
  • Mostre a variação e obtenha Euler–Lagrange: \dfrac{d}{dt}\dfrac{\partial L}{\partial\dot q}-\dfrac{\partial L}{\partial q}=0.
  • Aplique a L=T-V para recuperar m\ddot q=F.
    Você já está no caminho certo — faça esses passos na prova com calma, um por um; se esquecer algo, volte e reescreva L.

Resposta

O princípio de Hamilton (princípio da ação estacionária): a evolução real de um sistema entre instantes fixos t_1 e t_2 torna estacionária a ação
S[q]=\int_{t_{1}}^{t_{2}} L\bigl(q(t),\dot q(t),t\bigr)\,dt,
isto é, \delta S=0 para variações \delta q(t) que satisfeitas \delta q(t_1)=\delta q(t_2)=0. A condição \delta S=0 conduz às equações de Euler–Lagrange
\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot q}-\frac{\partial L}{\partial q}=0,
que, para L=T-V e T=\tfrac{1}{2}m\dot q^{2}, dão m\ddot q=-V'(q), recuperando a segunda lei de Newton. Significado físico: o princípio é uma formulação global da mecânica que “seleciona” a trajetória física como aquela que torna a ação estacionária; é mais geral e conveniente em coordenadas generalizadas, relaciona simetrias a leis de conservação (teorema de Noether) e é a base formal para a passagem à mecânica Hamiltoniana e para a formulação quântica por integrais de trajetória.

Exercícios relacionados