Considerem os itens abaixo:
Enuncie o princípio de Hamilton ou o princípio da mínima ação e discuta o seu significado à luz da Mecânica.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (1) enunciar o princípio de Hamilton (também chamado princípio da mínima ação) e (2) discutir o significado desse princípio à luz da Mecânica.
Informações relevantes dadas implicitamente pelo enunciado: queremos a formulação variacional (com ação e lagrangiana), a ligação com as equações do movimento e o significado físico/interpretativo desse princípio. Não há outros dados numéricos; trata-se de pergunta teórica.
Passo 2
Enuncie do princípio (forma padrão).
O princípio de Hamilton afirma que a evolução real de um sistema mecânico entre dois instantes fixos t_1 e t_2 é tal que a ação
Essa é a equação de Euler–Lagrange, que são as equações de movimento equivalentes às leis de Newton quando escolhemos L=T-V.
Passo 5
Aplicação concreta: recuperando a segunda lei de Newton para uma partícula unidimensional.
Considere uma partícula de massa m em um potencial V(q). Então
que é exatamente a segunda lei de Newton. Portanto o princípio variacional reproduz a mecânica newtoniana.
Passo 6
Discuta o significado físico do princípio (intuição e diferenças importantes).
Global vs local: Newton dá uma lei local em cada instante (F=ma). O princípio de Hamilton é global: ele compara diferentes trajetórias inteiras entre dois instantes e seleciona a que torna a ação estacionária. Isso é importante: a trajetória real “sabe” do que acontece entre os instantes finais.
“Mínima ação” é uma expressão histórica — o correto é dizer que a ação é estacionária. A trajetória real pode minimizar, maximizar ou ser um ponto de sela da ação; o que vale é \delta S=0.
Economicamente: entre todas as trajetórias possíveis com mesmos extremos, a física “escolhe” a que torna o integral S estacionário. Pense como se o sistema “otimizasse” uma quantidade global.
Condições de contorno: a formulação exige fixar as posições (ou coordenadas generalizadas) em t_1 e t_2. Variações com contornos diferentes mudam o problema.
Passo 7
Vantagens práticas e significado para a mecânica e além.
Coordenadas generalizadas: a formulação lagrangiana funciona naturalmente em coordenadas que simplificam o problema (ângulos, coordenadas curvilíneas), tornando fácil tratar restrições (por exemplo, corpos ligados por vínculos).
Conservação e simetrias: simetrias na lagrangiana implicam quantidades conservadas (teorema de Noether). Ex.: se L não depende de t então a energia é conservada; se L é invariante por translação, o momento linear é conservado. Isso dá uma ligação profunda entre simetria e conservação.
Passagem para Hamiltoniano e mecânica quântica: a partir da lagrangiana obtém-se a função Hamiltoniana e as equações canônicas; na mecânica quântica de Feynman a ação aparece no integrando da soma sobre trajetórias (path integral), mostrando que o princípio de ação tem reflexos fundamentais.
Passo 8
Exemplo concreto rápido que ilustra a aplicação em prova (como fazer passo a passo).
Problema típico: “Achar equação de movimento de massa m presa a mola com constante k (oscilador harmônico).”
Reconheça equação do oscilador harmônico e resolva se necessário.
Esse é o procedimento padrão em provas: montar L, calcular parciais e aplicar Euler–Lagrange.
Passo 9
Observações comuns que costumam cair em prova e armadilhas que você deve evitar.
Não confunda “mínima” com “estacionária”: escreva \delta S=0 e evite afirmar sem prova que é mínimo.
Sempre especifique as condições de contorno (quais variáveis são fixas nos instantes finais).
Ao aplicar a variação, não esqueça do termo de contorno na integração por partes—ele some somente porque impusemos \eta(t_1)=\eta(t_2)=0.
Para sistemas com forças não conservativas ou com dissipação, a lagrangiana padrão T-V pode não existir; existe formulação generalizada, mas cuidado em provas: se o problema for conservativo, use L=T-V.
Passo 10
Resumo prático (como responder rápido numa prova) e incentivo.
Escreva o princípio: \delta S=0 com S=\int_{t_1}^{t_2}L\,dt.
Mostre a variação e obtenha Euler–Lagrange: \dfrac{d}{dt}\dfrac{\partial L}{\partial\dot q}-\dfrac{\partial L}{\partial q}=0.
Aplique a L=T-V para recuperar m\ddot q=F.
Você já está no caminho certo — faça esses passos na prova com calma, um por um; se esquecer algo, volte e reescreva L.
Resposta
O princípio de Hamilton (princípio da ação estacionária): a evolução real de um sistema entre instantes fixos t_1 e t_2 torna estacionária a ação
isto é, \delta S=0 para variações \delta q(t) que satisfeitas \delta q(t_1)=\delta q(t_2)=0. A condição \delta S=0 conduz às equações de Euler–Lagrange
que, para L=T-V e T=\tfrac{1}{2}m\dot q^{2}, dão m\ddot q=-V'(q), recuperando a segunda lei de Newton. Significado físico: o princípio é uma formulação global da mecânica que “seleciona” a trajetória física como aquela que torna a ação estacionária; é mais geral e conveniente em coordenadas generalizadas, relaciona simetrias a leis de conservação (teorema de Noether) e é a base formal para a passagem à mecânica Hamiltoniana e para a formulação quântica por integrais de trajetória.