(Física e Matemática) Um capacitor de 1 \mu F é carregado a uma tensão de 300 V , e independentemente outro capacitor de 3 \mu F é carregado a 500 V. Se, depois de carregados, unirmos suas placas:
a. Que valor adquirirá a tensão comum em ambos os capacitores?
b. Que carga terá agora cada capacitor?
c. Qual será a energia do conjunto formado pelos dois capacitores?

Passo 1

O enunciado fornece dois capacitores carregados e pede três coisas. Dados e perguntas listados claramente:
  • Dados:
    • C_1 = 1\\ \mu F.
    • V_1 = 300\\ V.
    • C_2 = 3\\ \mu F.
    • V_2 = 500\\ V.
  • Perguntas:
    a. Qual será a tensão comum V_f quando unirmos suas placas (colocá-los em paralelo, ou seja, conectar polos correspondentes)?
    b. Que carga terá agora cada capacitor ( Q_1' e Q_2')?
    c. Qual será a energia do conjunto formado pelos dois capacitores depois de unidos ( U_f)?
Observação: o enunciado diz apenas “unirmos suas placas”. Vou interpretar isso como conectar polos correspondentes (positivo com positivo e negativo com negativo), o que é o caso mais direto de “colocá-los em paralelo” e é uma interpretação comum em exercícios deste tipo. Com essa ligação, as cargas sobre as placas se somam e a carga total do sistema é conservada.

Passo 2

Conceitos e fórmulas úteis (explicado passo a passo, bem devagar):
  • Definição de capacitância: a capacitância C relaciona carga Q e diferença de potencial V por
Q = C\,V,
onde Q é a carga em coulombs, C em farads e V em volts. Aqui cada capacitor tem carga inicial
Q_1 = C_1 V_1,\qquad Q_2 = C_2 V_2.
  • Energia armazenada num capacitor: a energia elétrica armazenada em um capacitor é
U = \tfrac{1}{2} C V^2.
Essa fórmula vem de integrar a pequena energia necessária para carregar o capacitor incrementalmente; a variável C é a capacitância e V a tensão final.
  • Ligação em paralelo (polos correspondentes unidos): ao unir polos correspondentes, as capacitâncias somam:
C_{\text{eq}} = C_1 + C_2.
Além disso, se o conjunto estiver isolado (sem caminho para a Terra), a carga total se conserva:
Q_{\text{total}} = Q_1 + Q_2 = C_{\text{eq}}\,V_f.
Dessa equação obtemos a tensão comum final V_f.

Passo 3

Calcular as cargas iniciais usando Q=C\,V.
  • Para o capacitor 1:
Q_1 = C_1 V_1 = 1\\ \mu F \cdot 300\\ V = 300\\ \mu C.
(Explicação: 1\\ \mu F = 1\times10^{-6}\,F. Multiplicando por 300 obtém-se 3{,}0\times10^{-4}\,C, que é 300\\ \mu C.)
  • Para o capacitor 2:
Q_2 = C_2 V_2 = 3\\ \mu F \cdot 500\\ V = 1500\\ \mu C.
(Explicação: 3\times10^{-6}\cdot500 = 1{,}5\times10^{-3}\,C = 1500\\ \mu C.)

Passo 4

Calcular a capacitância equivalente ao colocar os dois em paralelo e aplicar conservação de carga.
  • Capacitância equivalente:
C_{\text{eq}} = C_1 + C_2 = 1\\ \mu F + 3\\ \mu F = 4\\ \mu F.
  • Carga total (conservada ao unir polos correspondentes):
Q_{\text{total}} = Q_1 + Q_2 = 300\\ \mu C + 1500\\ \mu C = 1800\\ \mu C.
  • Relação entre carga total e tensão final:
Q_{\text{total}} = C_{\text{eq}}\,V_f \quad\Rightarrow\quad V_f = \frac{Q_{\text{total}}}{C_{\text{eq}}}.
Observação prática: como usamos unidades \mu C e \mu F, o quociente já sai em volts (porque \mu C/\mu F = V).

Passo 5

Calcular a tensão comum final V_f.
V_f = \frac{1800\\ \mu C}{4\\ \mu F} = 450\\ V.
(Explicação: 1800/4 = 450. Simples divisão; resultado em volts.)

Passo 6

Calcular as cargas finais em cada capacitor usando Q' = C\,V_f.
  • Capacitor 1:
Q_1' = C_1 V_f = 1\\ \mu F \cdot 450\\ V = 450\\ \mu C.
  • Capacitor 2:
Q_2' = C_2 V_f = 3\\ \mu F \cdot 450\\ V = 1350\\ \mu C.
Verificação rápida: Q_1' + Q_2' = 450\\ \mu C + 1350\\ \mu C = 1800\\ \mu C = Q_{\text{total}}, ou seja, conserva-se a carga.

Passo 7

Calcular a energia final do conjunto usando U_f = \tfrac{1}{2} C_{\text{eq}} V_f^2.
  • Primeiro calcule V_f^2 = 450^2 = 202500.
  • Então,
U_f = \tfrac{1}{2}\cdot 4\\ \mu F \cdot (450\\ V)^2.
Convertendo mentalmente: 4\\ \mu F = 4\times10^{-6}\,F, logo
U_f = \tfrac{1}{2}\cdot 4\times10^{-6}\cdot 202500 = 2\times10^{-6}\cdot 202500 = 0{,}405\\ J.
(Explicação: multiplicamos 202500 por 2\times10^{-6} para obter 0{,}405.)

Passo 8

Comentário pedagógico sobre energia (para fixar a ideia):
  • Energia inicial total:
U_{1,\text{in}} = \tfrac{1}{2}C_1 V_1^2 = \tfrac{1}{2}\cdot1\\ \mu F\cdot300^2 = 0{,}045\\ J,
U_{2,\text{in}} = \tfrac{1}{2}C_2 V_2^2 = \tfrac{1}{2}\cdot3\\ \mu F\cdot500^2 = 0{,}375\\ J,
U_{\text{in}} = U_{1,\text{in}}+U_{2,\text{in}} = 0{,}420\\ J.
  • Energia final U_f = 0{,}405\\ J. Portanto houve perda de energia
\Delta U = U_{\text{in}} - U_f = 0{,}015\\ J.
Essa energia não “sumiu” por mágica: ela foi dissipada na forma de calor/em pulso resistivo durante a corrente que fluiu no momento da ligação (mesmo que não tenhamos mostrado um resistor no circuito ideal, na prática existe resistência e/ou radiação que dissipa a energia). Esse é um ponto importante em exercícios de capacitores: a energia não se conserva necessariamente quando cargas se redistribuem, porque podem haver elementos dissipativos.

Resposta

a) V_f = 450\\ V
b) Q_1' = 450\\ \mu C,\; Q_2' = 1350\\ \mu C
c) U_f = 0{,}405\\ J

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