Consideremos o conjunto
, definido por
com as seguintes operaçōes:
- Adição:
.
- Multiplicação por escalar:
.
Mostre que
é um espaço vetorial sobre
.
Mostre que
Passo 1
O enunciado define o conjunto
com a “adição”
e a “multiplicação por escalar”
Queremos mostrar que, com essas operações,
é um espaço vetorial real. Para isso, vamos construir um isomorfismo de espaços vetoriais entre
e
, que já sabemos ser um espaço vetorial.
Passo 2
Definimos a aplicação
- Se
, então e , logo e estão bem definidos. - A inversa é
mostrando que
é bijetora.
Passo 3
Verificamos que
preserva as operações:
- Para a “adição”,
- Para a multiplicação por escalar,
Portanto
é um isomorfismo linear de
em
.
Passo 4
Como
é um espaço vetorial sobre
e
é isomorfo a
via
, concluímos que
, com as operações
e
dadas, é também um espaço vetorial sobre
.