Consideremos o conjunto V, definido por
V=(x, y) in R^2: x>0, y>0
com as seguintes operaçōes:
  • Adição: (x, y) oplus(t, z)=(x t, y z).
  • Multiplicação por escalar: k odot(x, y)=(x^k, y^k).
    Mostre que V é um espaço vetorial sobre R.

Passo 1

O enunciado define o conjunto
V = (x,y)inR^2 : x>0,;y>0
com a “adição”
(x,y)oplus(t,z) = (x,t,;y,z)
e a “multiplicação por escalar”
kodot(x,y) = l(x^k,;y^kr)
Queremos mostrar que, com essas operações, V é um espaço vetorial real. Para isso, vamos construir um isomorfismo de espaços vetoriais entre V e R^2, que já sabemos ser um espaço vetorial.

Passo 2

Definimos a aplicação
varphicolon V to R^2 por varphi(x,y) = (ln x,;ln y)
  1. Se (x,y)in V, então x>0 e y>0, logo ln x e ln y estão bem definidos.
  2. A inversa é
varphi^-1(u,v) = l(e^u,;e^vr),
mostrando que varphi é bijetora.

Passo 3

Verificamos que varphi preserva as operações:
  1. Para a “adição”,
varphil((x,y)oplus(t,z)r) =varphi(x,t,;y,z) =(ln(x,t),;ln(y,z)) =(ln x+ln t,;ln y+ln z) =varphi(x,y)+varphi(t,z)
  1. Para a multiplicação por escalar,
varphil(kodot(x,y)r) =varphil(x^k,;y^kr) =(ln(x^k),;ln(y^k)) =(kln x,;kln y) =k,(ln x,;ln y) =k,varphi(x,y)
Portanto varphi é um isomorfismo linear de V em R^2.

Passo 4

Como R^2 é um espaço vetorial sobre R e V é isomorfo a R^2 via varphi, concluímos que V, com as operações oplus e odot dadas, é também um espaço vetorial sobre R.

Resposta

V é um espaço vetorial sobre R, isomorfo a R^2 pela transformação varphi(x,y)=(ln x,ln y).

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