Consideremos o conjunto V, definido por
V=(x, y) in R^2: x>0, y>0
com as seguintes operaçōes:
  • Adição: (x, y) oplus(t, z)=(x t, y z).
  • Multiplicação por escalar: k odot(x, y)=(x^k, y^k).
    v=(x, y) in V tal que 3 odot v oplus(raiz2, 5)=(2, raiz5).

Passo 1

O enunciado define o conjunto
V = (x,y)inR^2 : x>0,;y>0
com as operações
– Adição: (x,y)oplus(t,z)=(x,t,;y,z).
– Multiplicação por escalar: kodot(x,y)=(x^k,;y^k).
Pede-se achar v=(x,y)in V tal que
3odot v ;oplus;(raiz2,5) ;=;(2,raiz5)
Para resolver, vamos usar diretamente as definições de odot e oplus.

Passo 2

Aplicando a definição de multiplicação por escalar com k=3 em v=(x,y), temos
3odot v = (x^3,;y^3)

Passo 3

Agora somamos (x^3,y^3) com (raiz2,5) usando a regra
(x^3,y^3)oplus(raiz2,5) = (,x^3cdotraiz2,;y^3cdot5,)
Queremos que isso seja igual a (2,raiz5), gerando o sistema
x^3raiz2 = 2, y^3cdot 5 = raiz5

Passo 4

Resolvendo cada equação:
Da primeira,
x^3 = 2raiz2 = 22^1/2 = 2^1 - tfrac12 = 2^1/2 = raiz2 ;;Longrightarrow;; x = (raiz2)^1/3 = 2^tfrac16
Da segunda,
y^3 = raiz55 = 5^tfrac12 - 1 = 5^-tfrac12 = 1raiz5 ;;Longrightarrow;; y = l(5^-tfrac12r)^1/3 = 5^-tfrac16

Resposta

v = l(2^tfrac16,;5^-tfrac16r)

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