Seja V um espaço vetorial sobre K. Definimos a operação de subtração, em V, por
u-v=u+(-v)
para todos u, v in V, isto é, a diferença de u por v é a soma de u pelo oposto de v. Mostre as seguintes propriedades:
(a-b) u=a u-b u, para todos a, b in K e u in V.

Passo 1

O enunciado trabalha com um espaço vetorial V sobre o corpo K. Definimos em V a subtração de vetores por
u - v ;=; u + (-v),
e queremos mostrar que, para todo a,binK e uin V, vale
(a - b),u ;=; a,u ;-; b,u
Vamos usar os axiomas de espaço vetorial: distributividade da multiplicação escalar em relação à soma em K e a unicidade do inverso aditivo em V.

Passo 2

Primeiro escrevemos a - b como soma em K, ou seja,
a - b ;=; a + (-b)
Pelo axioma de distributividade da multiplicação escalar sobre a soma de escalares, temos
(a - b),u ;=;(a + (-b)),u ;=; a,u ;+;(-b),u

Passo 3

Agora mostramos que (-b),u é o inverso aditivo de b,u. Note que
0Kcdot u = 0V
e também, usando distributividade no campo,
0K = b + (-b) ;Longrightarrow; 0Kcdot u = (b + (-b)),u = b,u + (-b),u
Como b,u + (-b),u = 0V, concluímos, pela unicidade do inverso aditivo em V, que
(-b),u = -(b,u)

Passo 4

Substituindo em (a - b),u = a,u + (-b),u, obtemos
(a - b),u = a,u + (-(b,u)) = a,u - (b,u)
Pela definição de subtração em V, a,u - (b,u)=a,u - b,u.

Resposta

(a - b),u = a,u - b,u

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