Seja
um espaço vetorial sobre
. Definimos a operação de subtração, em
, por
para todos
, isto é, a diferença de
por
é a soma de
pelo oposto de
. Mostre as seguintes propriedades:
, para todos
e
.
Passo 1
O enunciado trabalha com um espaço vetorial
sobre o corpo
. Definimos em
a subtração de vetores por
e queremos mostrar que, para todo
e
, vale
Vamos usar os axiomas de espaço vetorial: distributividade da multiplicação escalar em relação à soma em
e a unicidade do inverso aditivo em
.
Passo 2
Primeiro escrevemos
como soma em
, ou seja,
Pelo axioma de distributividade da multiplicação escalar sobre a soma de escalares, temos
Passo 3
Agora mostramos que
é o inverso aditivo de
. Note que
e também, usando distributividade no campo,
Como
, concluímos, pela unicidade do inverso aditivo em
, que
Passo 4
Substituindo em
, obtemos
Pela definição de subtração em
,
.