Consideremos os vetores p1=x^3-1, p2=x^2+x-1 e p3=x+2 no espaço R[x].
Existem a, b in R tais que p1=a p2+b p3?

Passo 1

O enunciado dá três polinômios em R[x]:
p1(x)=x^3-1, p2(x)=x^2+x-1, p3(x)=x+2
A pergunta é se existe uma combinação linear
p1(x)=a,p2(x)+b,p3(x)
para alguns a,binR. O conteúdo é espaço vetorial de polinômios e combinação linear, e vamos resolver igualando coeficientes.

Passo 2

Escrevemos a combinação linear e expandimos:
a,p2(x)+b,p3(x) = a,(x^2+x-1)+b,(x+2) = a,x^2 + a,x - a + b,x + 2b
Agrupando termos segundo as potências de x:
a,p2(x)+b,p3(x) = 0cdot x^3 + l(ar),x^2 + l(a+br),x + l(2b - ar)

Passo 3

Para que isso seja igual a p1(x)=1cdot x^3+0cdot x^2+0cdot x -1, os coeficientes devem bater. Em particular, o coeficiente de x^3
0 stackrel?= 1,
o que é impossível. Portanto não há a,b que façam a igualdade.

Resposta

Não existem a,binR tais que p1=a,p2+b,p3.

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