Consideremos o conjunto V, definido por
V=(x, y) in R^2: x>0, y>0
com as seguintes operaçōes:
  • Adição: (x, y) oplus(t, z)=(x t, y z).
  • Multiplicação por escalar: k odot(x, y)=(x^k, y^k).
    Determine, em particular:
    i. o vetor nulo.
    ii. o oposto do vetor (pi, raiz5).

Passo 1

O enunciado define o espaço V=(x,y)inR^2: x>0,,y>0 com as operações
– adição ,(x,y)oplus(t,z)=(x,t,;y,z),
– multiplicação por escalar ,kodot(x,y)=(x^k,;y^k).
Precisamos achar
i. o elemento neutro (vetor nulo) para a adição oplus,
ii. o inverso aditivo (oposto) de (pi,raiz5).

Passo 2

Para encontrar o neutro 0V=(e1,e2) sob oplus exigimos
(x,y)oplus(e1,e2)=(x,y)
para todo (x,y). Isso dá as equações
xcdot e1 = x, ycdot e2 = y
Como x e y são positivos e variam livremente, segue e1=1 e e2=1. Logo
0V=(1,1)

Passo 3

Para achar o oposto de (pi,raiz5), digamos u=(u1,u2), exigimos
(pi,raiz5)oplus(u1,u2)=(1,1)
Componentemente:
picdot u1 = 1 Longrightarrow u1 = 1pi,
raiz5cdot u2 = 1 Longrightarrow u2 = 1raiz5
Assim o inverso aditivo é l(1/pi,;1/raiz5r).

Resposta

i. O vetor nulo é (1,1).
ii. O oposto de (pi,raiz5) é l(1/pi,;1/raiz5r).

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