Consideremos as curvas
e
definidas pelas equações
é uma curva fechada chamada Lemniscata de Bernoulli. Obtenha sua equação em termos polares, desenhe seu gráfico, encontre a área delimitada por ela e, finalmente, seu comprimento.
Passo 1
O enunciado pede para trabalharmos com a curva
conhecida como leminiscata de Bernoulli, e obter em coordenadas polares sua equação, desenhar seu gráfico, calcular a área que ela encerra e, por fim, seu comprimento.
Para isso vamos usar a transformação
Para isso vamos usar a transformação
a fórmula de área em polares
e a fórmula de comprimento em polares
Passo 2
Substituindo
e
em
temos
, ou seja
Descartando a solução trivial
(que é apenas o ponto origem), vem
ou seja
válido somente quando
, isto é para
e
.
Passo 3
O gráfico é a clássica “oito” simétrica em relação à origem e ao eixo
. Cada lóbulo corresponde ao ramo
(para o lóbulo à direita) e
(para o lóbulo à esquerda), com .
(para o lóbulo à direita) e
(para o lóbulo à esquerda), com
Passo 4
Calculemos a área de um lóbulo. Como
,
Como há dois lóbulos, a área total é
Passo 5
Para o comprimento de um lóbulo usamos
Logo
O comprimento de um lóbulo é
e o total, somando os dois lóbulos, dá
Fazendo
tem-se
Resposta
Polar:
Gráfico: lemniscata em forma de “8” com dois lóbulos simétricos.
Área total: .
Comprimento total:
Área total:
Comprimento total: