Consideremos as curvas C_{1} e C_{2} definidas pelas equações
C_{1}:\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}-\left(x^{2}-y^{2}\right)=0 \quad C_{2}: \rho=0 .
C_{1} é uma curva fechada chamada Lemniscata de Bernoulli. Obtenha sua equação em termos polares, desenhe seu gráfico, encontre a área delimitada por ela e, finalmente, seu comprimento.

Passo 1

O enunciado pede para trabalharmos com a curva
C_{1}:\;(x^{2}+y^{2})^{2} \;-\;(x^{2}-y^{2}) \;=\;0,
conhecida como leminiscata de Bernoulli, e obter em coordenadas polares sua equação, desenhar seu gráfico, calcular a área que ela encerra e, por fim, seu comprimento.
Para isso vamos usar a transformação
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,
a fórmula de área em polares
\text{Área}=\tfrac12\int r^{2}\,d\thetaÁ
e a fórmula de comprimento em polares
\text{Comprimento}=\int\sqrt{r^{2}+\bigl(\tfrac{dr}{d\theta}\bigr)^{2}}\;d\theta.

Passo 2

Substituindo x=r\cos\theta e y=r\sin\theta em
(x^{2}+y^{2})^{2}-(x^{2}-y^{2})=0
temos (r^{2})^{2} - \bigl(r^{2}\cos2\theta\bigr)=0, ou seja
r^{4} \;-\;r^{2}\cos2\theta \;=\;0 \quad\Longrightarrow\quad r^{2}\bigl(r^{2}-\cos2\theta\bigr)=0.
Descartando a solução trivial r=0 (que é apenas o ponto origem), vem
r^{2} = \cos2\theta,
ou seja
r = \sqrt{\cos2\theta},
válido somente quando \cos2\theta\ge0, isto é para
-\tfrac{\pi}{4}\le\theta\le\tfrac{\pi}{4} e
\tfrac{3\pi}{4}\le\theta\le\tfrac{5\pi}{4}.

Passo 3

O gráfico é a clássica “oito” simétrica em relação à origem e ao eixo x. Cada lóbulo corresponde ao ramo
-\tfrac{\pi}{4}\le\theta\le\tfrac{\pi}{4}
(para o lóbulo à direita) e
\tfrac{3\pi}{4}\le\theta\le\tfrac{5\pi}{4}
(para o lóbulo à esquerda), com r=\sqrt{\cos2\theta}.

Passo 4

Calculemos a área de um lóbulo. Como r^{2}=\cos2\theta,
A_{\text{lóbulo}} =\tfrac12\int_{-\pi/4}^{\pi/4}r^{2}\,d\theta =\tfrac12\int_{-\pi/4}^{\pi/4}\cos2\theta\,d\theta =\tfrac12\Bigl[\tfrac{\sin2\theta}{2}\Bigr]_{-\pi/4}^{\pi/4} =\tfrac12\cdot\tfrac{2}{2} =\tfrac12.ó
Como há dois lóbulos, a área total é
A_{\text{total}}=2\cdot\tfrac12=1.

Passo 5

Para o comprimento de um lóbulo usamos
r=\sqrt{\cos2\theta} \quad\Longrightarrow\quad \tfrac{dr}{d\theta} =-\frac{\sin2\theta}{\sqrt{\cos2\theta}}.
Logo
\sqrt{r^{2}+ \bigl(\tfrac{dr}{d\theta}\bigr)^{2}} =\sqrt{\cos2\theta \;+\;\frac{\sin^{2}2\theta}{\cos2\theta}} =\frac{1}{\sqrt{\cos2\theta}}.
O comprimento de um lóbulo é
L_{\text{lóbulo}} =\int_{-\pi/4}^{\pi/4}\frac{d\theta}{\sqrt{\cos2\theta}}ó
e o total, somando os dois lóbulos, dá
L =2\int_{-\pi/4}^{\pi/4}\frac{d\theta}{\sqrt{\cos2\theta}} =4\int_{0}^{\pi/4}(\cos2\theta)^{-\tfrac12}d\theta.
Fazendo \varphi=2\theta tem-se
L =2\int_{0}^{\pi/2}\cos^{-\tfrac12}\varphi\;d\varphi =2\,\frac{\sqrt{\pi}\,\Gamma\!\bigl(\tfrac14\bigr)}{2\,\Gamma\!\bigl(\tfrac34\bigr)} =\frac{\sqrt{\pi}\,\Gamma\!\bigl(\tfrac14\bigr)}{\Gamma\!\bigl(\tfrac34\bigr)}.

Resposta

Polar:
r^{2}=\cos2\theta,\quad -\tfrac{\pi}{4}\le\theta\le\tfrac{\pi}{4},\;\tfrac{3\pi}{4}\le\theta\le\tfrac{5\pi}{4}.
Gráfico: lemniscata em forma de “8” com dois lóbulos simétricos.
Área total: 1.
Comprimento total:
L=\frac{\sqrt{\pi}\,\Gamma\bigl(\tfrac14\bigr)}{\Gamma\bigl(\tfrac34\bigr)}.

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