Consideremos um sólido cuja base é a elipse
\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{25}=1 .
Obtenha seu volume, sabendo que toda secção normal ao eixo y é um triângulo isósceles de altura 6 unidades.

Passo 1

O enunciado pede o volume de um sólido cuja base no plano xy é a elipse
\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{25} = 1,
e em cada plano y=\text{constante} (seção normal ao eixo y) a interseção com o sólido é um triângulo isósceles de altura constante igual a 6.
Para resolver, vamos usar o método de volumes por seções transversais, integrando a área da seção A(y) ao longo de y.

Passo 2

Da equação da elipse isolamos x em função de y. Como temos
\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{25} = 1,
segue
x^{2} = 16\Bigl(1 - \frac{y^{2}}{25}\Bigr) \quad\Longrightarrow\quad x = 4\,\sqrt{1 - \frac{y^{2}}{25}}.

Passo 3

Para cada y fixo, a base do triângulo na seção tem comprimento igual à largura total da elipse naquele y, ou seja,
\text{base}(y) = 2x = 2\cdot 4\,\sqrt{1 - \tfrac{y^{2}}{25}} = 8\,\sqrt{1 - \frac{y^{2}}{25}}.

Passo 4

A área de um triângulo isósceles de base b e altura h é
A = \frac{b\cdot h}{2}.
Aqui b = 8\,\sqrt{1 - \tfrac{y^{2}}{25}} e h = 6, logo
A(y) = \frac{8\,\sqrt{1 - \tfrac{y^{2}}{25}}\;\times 6}{2} = 24\,\sqrt{1 - \frac{y^{2}}{25}}.

Passo 5

O volume do sólido é a integral de A(y) de y=-5 até y=5:
V = \int_{y=-5}^{5} A(y)\,dy = \int_{-5}^{5} 24\,\sqrt{1 - \frac{y^{2}}{25}}\;dy.
Como o integrando é função par, podemos simplificar para
V = 2 \int_{0}^{5} 24\,\sqrt{1 - \frac{y^{2}}{25}}\;dy = 48 \int_{0}^{5} \sqrt{1 - \frac{y^{2}}{25}}\;dy.

Passo 6

Fazemos a mudança de variável u = \tfrac{y}{5}, então dy = 5\,du e, quando y vai de 0 a 5, u vai de 0 a 1. Assim
V = 48 \int_{0}^{1} \sqrt{1 - u^{2}}\;(5\,du) = 240 \int_{0}^{1} \sqrt{1 - u^{2}}\;du.
Conhecemos a integral
\int_{0}^{1} \sqrt{1 - u^{2}}\;du = \frac{\pi}{4}.
Portanto
V = 240 \times \frac{\pi}{4} = 60\pi.

Resposta

O volume do sólido é V = 60\pi unidades cúbicas.

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