Consideremos um sólido cuja base é a elipse
Obtenha seu volume, sabendo que toda secção normal ao eixo
é um triângulo isósceles de altura 6 unidades.
Passo 1
O enunciado pede o volume de um sólido cuja base no plano
é a elipse
e em cada plano
(seção normal ao eixo
) a interseção com o sólido é um triângulo isósceles de altura constante igual a
.
Para resolver, vamos usar o método de volumes por seções transversais, integrando a área da seção ao longo de
.
Para resolver, vamos usar o método de volumes por seções transversais, integrando a área da seção
Passo 2
Da equação da elipse isolamos
em função de
. Como temos
segue
Passo 3
Para cada
fixo, a base do triângulo na seção tem comprimento igual à largura total da elipse naquele
, ou seja,
Passo 4
A área de um triângulo isósceles de base
e altura
é
Aqui
e
, logo
Passo 5
O volume do sólido é a integral de
de
até
:
Como o integrando é função par, podemos simplificar para
Passo 6
Fazemos a mudança de variável
, então
e, quando
vai de
a
,
vai de
a
. Assim
Conhecemos a integral
Portanto
Resposta
O volume do sólido é
unidades cúbicas.